AMC 10 · 2018 · #16

학년 8 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Vertices then Area

coordinate-geometryquadratic-equationssystems-of-equationssign-analysis convert-to-algebracaseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: coordinate-geometryquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

좌표평면에 두 곡선이 있습니다. 중심이 원점이고 반지름이 a인 원과, y가 x제곱 빼기 a인 포물선입니다. 둘 다 같은 수 a로 조절됩니다. 두 곡선이 정확히 세 점에서 만나게 하는 a의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$a=\frac14$

(B)

$\frac14 < a < \frac12$

(C)

$a>\frac14$

(D)

$a=\frac12$

(E)

$a>\frac12$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 곡선이 만나는 곳을 세는 것은 사실 두 식을 함께 만족하는 실수 해를 세는 것이므로, 도구 #4(변수 도입하기)가 앞장선다: 포물선이 이미 x²=y+a 를 주므로 이를 원에 대입해 y 만의 한 식으로 만든다. 도구 #1(그림 그리기)은 원 안으로 들어가는 포물선이라는 그림을 곁에 두어 대수에 의미를 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 둘로 나눈다: 먼저 만나는 y 높이를 구하고, 각 높이마다 x 가 몇 개 나오는지 묻는다. 도구 #14(극단의 원리)는 한 높이가 점 0 개에서 2 개로 바뀌는 정확한 경계를 찾는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 그 경계를 한 선택지에 맞는 부등식으로 바꾼다.

1STEP 1

포물선을 원에 대입하기

포물선을 원에 넣어 y만 남깁니다.

x²=y+a → y²+y+a-a²=0

2STEP 2

두 y 높이 구하기

두 개의 y 높이가 나옵니다.

y=(-1±√((2a-1)²))/2 → y=-a 또는 y=a-1

3STEP 3

높이 y=-a 는 항상 점 한 개를 준다

아래 높이는 언제나 점 하나만 줍니다.

y=-a: x²=0 → (0,-a) (항상 점 1개)

4STEP 4

높이 y=a-1은 점 0, 1, 2개를 준다

위 높이는 0개, 1개, 2개를 줄 수 있습니다.

y=a-1: x²=2a-1 → 2개&2a-1 ＞ 0 ; 1개&2a-1=0 ; 0개&2a-1 ＜ 0

5STEP 5

개수를 더해 a 읽어내기

합이 셋이 되려면 a가 2분의 1보다 커야 합니다.

합=1+ 2 ; 0 =3⇔ 2a-1 ＞ 0⇔ a ＞ 1/2 → (E)

정답

a ＞ 1/2

경계를 넘은 값으로 확인: a=1이면 높이 y=-a=-1은 (0,-1)을 주고, 높이 y=a-1=0은 x²=2a-1=1이라 x=±1, 점 (±1,0)을 준다 -- 모두 세 점으로 a ＞ 1/2와 맞다. 경계 a=1/2 확인: 두 높이가 모두 y=-1/2, x=0에 모여 접하는 한 점뿐이라 1 개 -- 3이 아니므로 (D)가 옳게 배제된다. 아래쪽 a=1/4은 위 높이에서 x²=2a-1=-1/2 ＜ 0이라 바닥 점만 남아 (A), (B), (C)도 배제된다. a ＞ 1/2만 살아남아 (E)가 확정된다.

💡핵심 정리

포물선의 바닥은 항상 원에 닿아 점 하나를 주고, 두 팔은 a 가 1/2을 넘어야 원을 다시 뚫고 나가 두 점을 더해 정확히 3 개가 된다 -- 답은 (E).

포물선을 원에 대입하기
두 y 높이 구하기
높이 y=-a 는 항상 점 한 개를 준다
높이 y=a-1은 점 0, 1, 2개를 준다
개수를 더해 a 읽어내기

포물선을 원에 대입하기

두 y 높이 구하기

높이 y=-a 는 항상 점 한 개를 준다

높이 y=a-1은 점 0, 1, 2개를 준다

개수를 더해 a 읽어내기

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