AMC 10 · 2018 · #19

학년 11 number-theory
유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share
geometric-series-infiniteprime-factorizationfundamental-counting-principlefraction-arithmetic identify-subproblemspattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: geometric-series-infiniteprime-factorization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 집합은 소인수가 2, 3, 5뿐인 모든 양의 정수로 이루어집니다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16 같은 수는 들어가지만 7, 11, 14는 들어가지 않습니다. 이 수들의 역수를 모두 더합니다. 그 무한합은 기약분수가 됩니다. 분자와 분모의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
17
(C)
19
(D)
23
(E)
36
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 이 합은 지저분한 목록 하나처럼 보이지만, A의 모든 원소는 서로 독립인 세 가지 선택 — 2의 지수, 3의 지수, 5의 지수 — 으로 만들어진다. 그래서 어려운 합 하나가 쉬운 등비급수 세 개로 쪼개지고, 마지막에 다시 곱해서 합친다. 도구 #5 (패턴 찾기)로 분모들 속에 숨은 2^a 3^b 5^c 꼴을 드러낸다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)는 각 작은 문제에 필요한 조각을 준다: 먼저 2의 거듭제곱의 역수만 더해 보고, 같은 수를 3과 5에 그대로 다시 쓴다.

1STEP 1

지수로 집합 나타내기

원소를 지수 세 개로 나타냅니다.

A={ 2^a 3^b 5^c : a,b,c nonnegative integers }
2STEP 2

2의 거듭제곱부터 더하기

2의 거듭제곱만 더하면 등비급수입니다.

Σ_a=0^∞1/2^a=1/(1-1/2)=2
3STEP 3

합을 세 급수로 쪼개기

세 지수가 독립이라 합이 세 급수의 곱이 됩니다.

Σ_k ∈ A1/k=(Σ_a=0^∞1/2^a)(Σ_b=0^∞1/3^b)(Σ_c=0^∞1/5^c)
4STEP 4

나머지 두 급수 계산하기

나머지 두 급수도 같은 방식입니다.

S₃=1/(1-1/3)=3/2, S₅=1/(1-1/5)=5/4
5STEP 5

다시 곱해 m+n 읽기

곱해서 더하면 19입니다.

2·3/2·5/4=15/4 → m+n=15+4=19
정답
19
문제에 적힌 열네 개 항을 더하면 약 3.10이다. 답 15/4=3.75는 그보다 커야 하고 실제로 크며, 남은 항들이 이미 1/20 아래에서 빠르게 줄어드는 만큼 조금만 크다. 또한 조화급수 전체는 발산하지만 이 합은 유한해야 하는데, 7 이상의 소인수를 가진 수를 모두 버리면 목록이 충분히 성글어져 수렴한다. 구조로도 확인된다: 곱 2/1·3/2·5/4에서 각 소수 p가 p/(p-1)을 내놓고, 첫 분자의 2가 둘째 분모의 2와 약분되어 15/4가 남는다.
💡핵심 정리

목록의 모든 수가 서로 독립인 선택으로 만들어진다면, 선택마다 따로 더한 뒤 그 결과들을 곱하면 된다.

  • 지수로 집합 나타내기
  • 2의 거듭제곱부터 더하기
  • 합을 세 급수로 쪼개기
  • 나머지 두 급수 계산하기
  • 다시 곱해 m+n 읽기

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