AMC 10 · 2018 · #20

학년 10 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
cyclic-quadrilateralisosceles-right-trianglearea-trianglespythagorean-theoremquadratic-equations identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglescyclic-quadrilateral
📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
삼각형 ABC는 A에서 직각이고 두 변의 길이가 모두 3이며, M은 빗변 BC의 중점입니다. AC 위의 점 I와 AB 위의 점 E를 잡되 네 점 A, I, M, E가 한 원 위에 있고 AI가 AE보다 길게 합니다. 삼각형 EMI의 넓이가 2일 때, CI를 a 빼기 루트 b를 c로 나눈 꼴로 쓰고 a 더하기 b 더하기 c를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
10
(C)
11
(D)
12
(E)
13
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

넓이 조건은 △ EMI에 붙어 있는데 묻는 것은 전혀 다른 선분 위의 길이 CI라서, 문제를 조각내기 전까지는 둘이 이어지지 않는다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 경로를 정한다. 먼저 △ EMI가 어떤 모양인지 밝히고, 그 넓이를 실제 길이 MI로 바꾼 뒤, 그 길이로 AC 위의 I 위치를 확정한다. 도구 #1 (그림 그리기)은 마지막 단계를 단숨에 끝내주는 보조선 하나, 즉 M에서 AC에 내린 수선을 제공한다. 대칭성 때문에 그 수선의 발은 AC의 중점이다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 AI와 AE에 이름을 붙이면 내접 조건과 넓이 조건이 식이 된다. 마지막으로 도구 #3 (가능성 지우기)이 남은 장애물을 처리한다. 기하 조건만으로는 I의 대칭인 두 위치가 모두 가능한데, 주어진 AI ＞ AE가 그중 하나를 지워 준다.

1STEP 1

A에서의 대칭성 읽기

직각이등변이 45도 대칭을 만듭니다.

∠ MAI=∠ MAE=90°/2=45°, AI=p, AE=q, CI=3-p
2STEP 2

내접 조건이 45-45-90을 만든다

한 원 위라는 조건이 직각이등변 삼각형을 만듭니다.

∠ MEI=∠ MAI=45°, ∠ MIE=∠ MAE=45° → ∠ EMI=90°, ME=MI
3STEP 3

넓이를 길이로 바꾸기

넓이 2가 곧 변의 길이를 줍니다.

2=1/2 · ME · MI=1/2MI² → MI²=4 → ME=MI=2
4STEP 4

M에서 수선 내리기

중점에서 수선을 내립니다.

G 는 AC 의 중점: AG=GC=3/2, MG=AB/2=3/2
5STEP 5

피타고라스로 GI 구하기

피타고라스가 남은 길이를 줍니다.

GI²=MI²-MG²=2²-(3/2)²=4-9/4=7/4 → GI=√7/2
6STEP 6

AI ＞ AE로 근 고르기

근을 고르고 더하면 12입니다.

AI=(3+√7)/2, CI=GC-GI=3/2-√7/2=(3-√7)/2 → a+b+c=3+7+2=12 → (D)
정답
12
모든 길이가 그림에서 예상되는 자리에 놓인다. AI=(3+√7)/2≈ 2.82는 3보다 작으므로 I는 AC 위에 있고, CI=(3-√7)/2≈ 0.18은 C 근처의 작은 양수 조각이며, AE≈ 0.18 역시 AB 위에 있고 AI ＞ AE도 만족한다. 서로 독립적인 두 사실이 이 쌍을 확인해 준다. 첫째, △ AEI는 A에서 직각이고 AE²+AI²=((3-√7)/2)²+((3+√7)/2)²=(16-6√7)/4+(16+6√7)/4=8=(2√2)²인데, 이는 변이 2인 45-45-90 삼각형의 빗변 EI=2√2와 정확히 일치한다. 둘째, 네 점이 한 원 위에 있다는 것도 확인된다. A=(0,0), C=(3,0), B=(0,3)으로 놓으면 A, I=(p,0), E=(0,q)를 지나는 원은 x²+y²-px-qy=0이고, M=(3/2,3/2)이 이 위에 있을 조건은 정확히 p+q=3인데 우리가 얻은 근 3±√7/2가 이를 만족한다. 끝으로 b=7은 소수이므로 요구된 꼴이 유일하게 정해지고 a+b+c=12에 모호함이 없다.
💡핵심 정리

네 점을 지나는 원은 각을 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 복사해 주므로, A의 45°가 △ EMI를 45-45-90 삼각형으로 만들고 그 넓이가 곧바로 길이를 알려 준다.

  • A에서의 대칭성 읽기
  • 내접 조건이 45-45-90을 만든다
  • 넓이를 길이로 바꾸기
  • M에서 수선 내리기
  • 피타고라스로 GI 구하기
  • AI ＞ AE로 근 고르기

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