AMC 10 · 2018 · #22
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #4(변수 도입하기): z = a + bi 로 쓰면 각 복소수 방정식이 실수 방정식 두 개로 바뀐다. 꼭짓점의 좌표를 얻는 길은 이것뿐이다. 도구 #15(다르게 정리하기): 실수부와 허수부를 맞춰서 얻은 두 식만 쓰면 사차식이 나오지만, 크기(절댓값)를 비교하면 세 번째 식이 공짜로 생기고 세 식 모두 a²과 b²에 대해 일차식이 된다. 같은 정보를 다르게 정리했을 뿐인데 훨씬 쉬워진다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 두 제곱근 문제를 따로 풀고, 넓이는 별도의 도형 문제로 다룬다. 도구 #1(그림 그리기): 네 점을 찍어 보면 ± 쌍으로 나온다는 것이 보이고, 그 사실이 꼭짓점의 올바른 순서와 가장 빠른 넓이 공식을 동시에 정해 준다.
z 를 실수부와 허수부로 쪼갠다
복소수를 실수부와 허수부로 쪼갭니다.
복소수는 사실 실수 두 개의 짝이므로, 복소수 등식 하나는 숨어 있는 등식 두 개다.
11.N-CN.A.1Introduce A Variable크기를 비교해 공짜 식을 얻는다
크기를 비교하면 세 번째 식이 공짜로 나옵니다.
같은 식을 길이에 대한 진술로 다시 읽는 데는 비용이 들지 않는데, 그 대가로 사차식이 이원일차 연립식으로 바뀐다.
11.N-CN.A.3Organize Information In More Ways첫 번째 해 쌍을 구한다
세 식이 첫 해 쌍을 정합니다.
두 식을 더하면 b²이 지워지고 빼면 a²이 지워진다. 합과 차의 짝은 원래 이런 용도로 생긴 것이다.
9.A-REI.C.6Introduce A Variable두 번째 방정식에 같은 절차를 적용한다
두 번째 방정식도 같은 절차입니다.
두 번째 방정식은 숫자만 작아진 같은 기계이므로, 새로 만들지 말고 앞의 절차를 그대로 돌리면 된다.
11.N-CN.A.2Identify Subproblems± 쌍이 평행사변형을 만든다
부호가 반대인 짝이 대각선이 됩니다.
복소수의 제곱근은 항상 ± 쌍으로 나오므로, 대각선이 만나는 지점은 저절로 원점이 된다.
복소수의 제곱근은 언제나 서로 반대인 짝으로 오므로, 원점이 대각선이 만나는 곳이 된다.
▸ 왜?
어떤 수와 그 반대수는 제곱이 같으므로, 두 근은 원점을 지나는 거울상이다.
▸ 왜?
복소수는 평면 위의 점이므로, 반대되는 두 근은 원점을 사이에 둔 두 점이다.
넓이가 같은 네 개의 삼각형
네 삼각형의 넓이가 모두 같습니다.
평행사변형의 대각선은 넓이가 같은 네 삼각형으로 도형을 자르므로, 삼각형 하나만 제대로 하면 전체가 끝난다.
10.G-GPE.B.7Identify Subproblems요구된 꼴로 정리한다
정리해 더하면 20입니다.
제곱인수가 없어야 한다는 조건은 넓이를 쓰는 방법을 딱 하나로 못 박기 위한 표기 규칙이다.
11.N-RN.A.2Organize Information In More Ways복소수의 제곱근을 구할 때는 z = a + bi 로 두고 실수부, 허수부, 그리고 길이를 각각 맞추면 a²과 b²에 대한 일차식 세 개가 나오고, 네 해가 ± 쌍으로 나오므로 대각선이 원점에서 만나는 평행사변형이 되어 넓이는 2|x₁y₂ - x₂y₁| = 6√(2) - 2√(10)이다.
- z 를 실수부와 허수부로 쪼갠다
- 크기를 비교해 공짜 식을 얻는다
- 첫 번째 해 쌍을 구한다
- 두 번째 방정식에 같은 절차를 적용한다
- ± 쌍이 평행사변형을 만든다
- 넓이가 같은 네 개의 삼각형
- 요구된 꼴로 정리한다