AMC 10 · 2018 · #23
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
선분 MN은 짧고 기울어져 있으며 붙어 있는 각이 하나도 없어서 곧바로 각을 쫓아갈 수가 없다. 도구 #17 (공간 상상하기)이 핵심 수를 준다: 구석의 작은 삼각형 PUM을 M을 중심으로 반 바퀴 돌리는 것이다. 이 반 바퀴 회전이 길이 PU=1을 길이 AG=1 옆으로 끌고 오고, 그러면 같은 길이의 두 변이 한 꼭짓점에서 만난다. 도구 #1 (그림 그리기)로 새로 생긴 점들이 직선 PA의 어느 쪽에 놓이는지 관리한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 조각으로 나눈다: 먼저 MN이 중점연결선임을 보이고, 그다음 그것과 평행한 직선의 기울기를 구한다. 도구 #16 (관점 바꾸기)이 결정타다: MN 대신 그 평행한 쉬운 직선 위에서 각을 재는 것이다.
그림 그리고 각 T 채우기
세 번째 각을 먼저 채웁니다.
깔끔한 그림을 보면 MN이 아직 아무 각도 붙지 않은 짧고 가파른 선분임이 드러난다.
8.G.A.5Draw A DiagramM을 중심으로 반 바퀴 돌리기
중점을 중심으로 반 바퀴 돌립니다.
중점을 축으로 한 반 바퀴 회전은 밑변의 한쪽 끝을 다른 쪽 끝으로 옮기고 방향이 뒤집힌 평행한 복사본을 남긴다.
8.G.A.1Visualize Spatial RelationshipsMN이 중점연결선이 된다
두 중점이 중점연결선을 만듭니다.
한 삼각형 안의 두 중점은 언제나 남은 한 변과 평행한 선분을 만든다.
한 삼각형 안의 두 중점을 이으면 언제나 나머지 변과 나란한 선분이 된다.
▸ 왜?
두 변을 같은 비로 자르면 작은 삼각형이 전체를 줄인 복사본이 된다.
▸ 왜?
그 복사본의 대응하는 변은 결코 만나지 않으므로, 그 선분은 세 번째 변과 일정한 간격을 유지한다.
A에서의 각은 92도
돌린 뒤 한 꼭짓점의 각이 두 각의 합이 됩니다.
평행선 덕분에 P에 있던 36°가 이미 56°가 있는 A 옆에 다시 나타난다.
10.G-CO.C.9Identify Subproblems이등변삼각형이 밑각 44도를 준다
이등변삼각형이 밑각을 줍니다.
두 변이 같으면 밑각도 같아지므로 꼭지각 하나가 나머지 두 각을 모두 확정한다.
10.G-CO.C.10Identify SubproblemsU'G가 밑변을 지나는 곳
밑변과 만나는 각을 읽습니다.
삼각형의 두 각을 알면 세 번째 각은 저절로 따라온다.
8.G.A.5Change Focus Count The Complement각을 MN으로 되돌리기
평행이므로 답은 80도입니다.
평행한 두 직선은 다른 직선을 같은 각으로 자르므로 잰 각이 공짜로 옮겨 간다.
10.G-CO.C.9Change Focus Count The Complement선분에 붙은 각이 하나도 없을 때는 같은 길이끼리 만날 때까지 그림의 일부를 반 바퀴 돌린 다음, 그것과 평행한 직선에서 각을 재면 된다.
- 그림 그리고 각 T 채우기
- M을 중심으로 반 바퀴 돌리기
- MN이 중점연결선이 된다
- A에서의 각은 92도
- 이등변삼각형이 밑각 44도를 준다
- U'G가 밑변을 지나는 곳
- 각을 MN으로 되돌리기