AMC 10 · 2018 · #12
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #4 (변수 도입하기): 문제가 자유로운 길이를 하나 주었으니, 그것을 x = AC라 이름 붙이고 나머지 모든 길이를 x로 쓰도록 강제한다. 각의 이등분선 정리가 바로 그 일을 해 준다 — CD=3을 BD의 식으로 바꿔 주므로 세 번째 변 BC가 x의 함수가 되고, 삼각형 전체가 단 하나의 수로 조종된다. 도구 #1 (그림 그리기): 라벨을 붙인 그림을 그리면 BC가 BD+3으로 쪼개진다는 사실이 한눈에 보이고, 이등분선 정리는 바로 이 사실에 붙는다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): 세 변이 모두 x로 표현되면 "이 삼각형이 존재하는가?"는 세 개의 삼각부등식, 즉 x에 대한 세 개의 대수 부등식이 된다. 도구 #14 (극단의 원리): 구간이 열려 있는 이유는 양 끝점이 납작하게 찌그러진 퇴화 삼각형이기 때문이다. 이 두 극단을 확인하면 끝점이 제외됨이 확인되고, 그래서 답이 열린구간이 된다.
그림을 그리고 쪼개진 변에 라벨 붙이기
밑변이 두 조각으로 쪼개집니다.
꼭짓점에서 그은 이등분선은 언제나 마주 보는 변 안쪽에 떨어지므로, 그 변은 두 조각을 더한 것일 뿐이다.
10.G-CO.A.1Draw A DiagramAC = x라 놓고 BD 구하기
각이등분선의 비가 나머지 조각을 줍니다.
이등분선은 마주 보는 변을 자기가 낀 두 변의 비율대로 나눠 주므로, AC가 길어질수록 남는 조각 BD는 짧아진다.
이등분선은 자기 양쪽 두 변의 비에 따라 마주 보는 변을 나눈다.
▸ 왜?
두 조각은 한 직선 위 같은 꼭짓점 아래에 있으므로, 넓이가 밑변의 비를 이룬다.
▸ 왜?
이등분선은 양쪽에 같은 각을 만들므로, 두 삼각형은 한 모양을 키우고 줄인 복사본이다.
순수한 변의 길이 문제로 줄이기
이제 세 변이 문자 하나로 표현됩니다.
변수 하나가 세 변을 모두 정해 버리면 "어떤 AC가 가능한가?"는 "어떤 x가 실제로 닫히는 세 길이를 주는가?"로 무너져 내린다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable부등식 1: AB + AC ＞ BC
첫 부등식이 아래 끝을 정합니다.
AC가 너무 짧으면 변 AB와 AC를 합쳐도 긴 세 번째 변을 가로지를 수 없어 삼각형이 닫히지 않는다.
9.A-REI.B.4Convert To Algebra부등식 2: AB + BC ＞ AC
둘째 부등식이 위 끝을 정합니다.
AC가 너무 길어지면 나머지 두 변 — 하나는 10에 고정, 다른 하나는 x가 커질수록 짧아짐 — 이 그것을 가로지를 길이가 모자라게 된다.
9.A-REI.B.4Convert To Algebra부등식 3: AC + BC ＞ AB
셋째는 언제나 성립합니다.
완전제곱으로 바꿔 보면 이 이차식이 결코 0까지 내려오지 않음이 보이므로, 세 번째 조건은 공짜로 만족된다.
9.A-SSE.B.3Convert To Algebra교집합을 잡고 m+n 읽기
두 끝을 더하면 18입니다.
구간은 삼각형이 직선으로 납작해지는 바로 그 지점에서 멈추고, 납작한 삼각형은 삼각형이 아니므로 양 끝이 모두 열려 있다.
7.G.A.2Extreme Principle자유로운 변을 x라 이름 붙이자. 각의 이등분선 규칙이 CD=3을 BC=30/x+3으로 바꿔 주고, 그다음은 삼각부등식만으로 살아남는 x가 정해진다 — 구간 (3,15), 따라서 m+n=18.
- 그림을 그리고 쪼개진 변에 라벨 붙이기
- AC = x라 놓고 BD 구하기
- 순수한 변의 길이 문제로 줄이기
- 부등식 1: AB + AC ＞ BC
- 부등식 2: AB + BC ＞ AC
- 부등식 3: AC + BC ＞ AB
- 교집합을 잡고 m+n 읽기