AMC 10 · 2018 · #13

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

centroid-2-to-1coordinate-geometrymidpoint-formuladilationarea-rectangles coordinate-geometryconvert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: centroid-2-to-1coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 30인 정사각형 안에 점 P가 있고 한 꼭짓점까지의 거리는 12, 다른 꼭짓점까지는 26입니다. 정사각형의 대각선은 긋지 않고 대신 P를 네 꼭짓점과 이어 정사각형을 네 개의 삼각형으로 나눕니다. 그 네 삼각형 각각의 무게중심을 표시합니다. 세 중선이 만나는 균형점입니다. 그 네 점이 볼록사각형을 이룹니다. 그 사각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$100\sqrt{2}$

(B)

$100\sqrt{3}$

(C)

200

(D)

$200\sqrt{2}$

(E)

$200\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

그림이 핵심을 가리고 있다. 무게중심은 순수한 평균이고, 평균은 좌표에서 아주 깔끔하게 움직인다. 도구 #1(그림 그리기)로 정사각형의 한 꼭짓점을 원점에 두어 모든 꼭짓점을 정수로 만든다. 도구 #4(변수 도입하기)로 미지의 점을 P = (3x, 3y)로 이름 붙인다 — 앞에 3을 붙여 두면 무게중심에서 3으로 나눌 때 분수가 남지 않는다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 엔진이다: '무게중심'을 '세 좌표의 평균'으로 바꿔 네 개를 그냥 계산한다. 도구 #16(관점 바꾸기)에서 문제가 쪼개진다 — 네 무게중심을 적어 놓고 보면 x 와 y 는 네 점을 통째로 밀 뿐 모양을 전혀 바꾸지 않는다. 그래서 AP = 12와 BP = 26은 배경 장식이 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이를 두 대각선 문제로 줄이고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과를 보기와 대조한다.

1STEP 1

정사각형을 좌표평면에 놓기

정사각형을 좌표에 놓습니다.

A = (0,30), B = (0,0), C = (30,0), D = (30,30)

2STEP 2

P 를 (3x, 3y)로 두기

P를 세 배 꼴로 두면 분수가 사라집니다.

P = (3x, 3y), 여기서 0 ＜ 3x ＜ 30, 0 ＜ 3y ＜ 30

3STEP 3

무게중심은 평균이다

무게중심은 평균입니다.

G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)

4STEP 4

네 무게중심 모두 계산하기

네 무게중심을 모두 계산합니다.

G₁ = (x, y+10), G₂ = (x+10, y), G₃ = (x+20, y+10), G₄ = (x+10, y+20)

5STEP 5

미지수는 모양이 아니라 위치만 옮긴다

미지수는 위치만 옮길 뿐 모양은 그대로입니다.

G_i = O + (± 10, 0) 또는 O + (0, ± 10), O = (x+10, y+10)

6STEP 6

대각선을 교차시켜 넓이 구하기

두 대각선이 수직으로 만납니다.

G₁G₃ = 20, G₂G₄ = 20, G₁G₃ ⊥ G₂G₄, 넓이 = 1/2 · 20 · 20 = 200

7STEP 7

보기와 맞추기

넓이는 200입니다.

(10√(2))² = 200 → (C)

정답

200

서로 다른 두 방법이 일치한다. 첫째, 변의 길이: G₁G₂ = √((10)² + (-10)²) = 10√(2)이고 대칭에 의해 네 변이 모두 10√(2). 길이가 같은 두 대각선 20이 서로를 직각으로 이등분하므로 G₁G₂G₃G₄는 정사각형이고 (10√(2))² = 200 — 대각선 계산과 일치. 둘째, 크기 감각: 답은 정사각형 넓이 30² = 900의 적당한 일부여야 하는데 200/900 = 2/9로 깔끔한 비이고, 작은 사각형이 여유롭게 안에 들어간다 — 타당하다. 끝으로 쓰이지 않은 조건들도 모순이 없다: p² + (q-30)² = 144와 p² + q² = 676을 함께 풀면 q = 1432/60 ≈ 23.9, p ≈ 10.3 이므로 그런 P 가 실제로 정사각형 내부에 존재하고, 그 P 에 대해 답 200이 맞다 — 그리고 다른 모든 내부의 P 에 대해서도 맞다.

💡핵심 정리

무게중심은 삼각형 세 꼭짓점의 평균일 뿐이라, 좌표로 보면 네 무게중심은 언제나 한 중심에서 왼쪽·오른쪽·위·아래로 10 씩 떨어져 있다 — 대각선이 20과 20 인 정사각형, 넓이는 200, P 가 어디 숨어 있든 똑같다.

정사각형을 좌표평면에 놓기
P 를 (3x, 3y)로 두기
무게중심은 평균이다
네 무게중심 모두 계산하기
미지수는 모양이 아니라 위치만 옮긴다
대각선을 교차시켜 넓이 구하기
보기와 맞추기