AMC 10 · 2018 · #16

학년 12 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

roots-of-unitycomplex-polar-formregular-octagonsine-area-formulaoptimization extreme-principleeasier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: complex-polar-formroots-of-unity

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 8제곱 방정식에 복소수 해가 여덟 개 있습니다. 복소평면에 찍으면 볼록한 정팔각형의 꼭짓점이 됩니다. 그중 세 꼭짓점을 골라 삼각형을 만듭니다. 만들 수 있는 삼각형 중에서 넓이가 가장 작은 것을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}\sqrt{6}$

(B)

$\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{3}{2}$

(C)

$2\sqrt3-3\sqrt2$

(D)

$\frac{1}{2}\sqrt{2}$

(E)

$\sqrt 3-1$

풀이 과정

전략 극단의 원리

이 문제는 유한한 선택지들 중에서 최솟값을 묻고 있으므로 바로 극단의 원리에 해당합니다. 넓이를 가장 아래까지 밀어내는 모양을 찾고, 그보다 작은 것이 없음을 확인하면 됩니다. 거기에 이르려면 값싼 준비 동작 세 가지가 먼저 필요합니다. +6은 장식일 뿐이므로 w = z+6으로 바꿔 원점을 중심으로 하는 더 쉬운 방정식 w⁸ = 81을 풉니다(더 쉬운 문제로 줄이기). 반지름과 각을 변수로 이름 붙여 극형식으로 쓰면 그 방정식은 같은 간격의 여덟 점이 되고, 그것을 그려 보면 정팔각형이 보입니다(변수 도입하기, 그림 그리기). 그다음, 팔각형의 대칭 덕분에 고른 꼭짓점 사이의 간격만이 모양을 결정하므로 본질적으로 다른 삼각형을 모두 나열할 수 있습니다. 단 다섯 가지뿐입니다(빠짐없이 나열하기). 마지막으로 이긴 값을 선택지와 맞춰 봅니다(가능성 지우기).

1STEP 1

그림을 원점으로 옮기기

그림을 원점으로 옮깁니다.

w = z + 6 ⟹ w⁸ = 81, z = w - 6

2STEP 2

모든 해를 한 원 위에 묶기

모든 해가 한 원 위에 있습니다.

|w|⁸ = 81 = 3⁴ ⟹ |w| = 3⁴/8 = √(3)

3STEP 3

여덟 해를 고르게 배치하기

여덟 해가 고르게 배치됩니다.

w = √(3)(cosθ + isinθ), w⁸ = 81(cos 8θ + isin 8θ) ⟹ θ = 45k°, k = 0,1,…,7

4STEP 4

간격만이 중요하다

중요한 것은 간격뿐입니다.

a + b + c = 8, a,b,c ≥ 1: {1,1,6}, {1,2,5}, {1,3,4}, {2,2,4}, {2,3,3}

5STEP 5

각 모양을 사인의 곱으로 바꾸기

각 모양이 사인의 곱이 됩니다.

[PQR] = 1/2(2Rsin 22.5a°)(2Rsin 22.5b°)sin 22.5c° = 6sin 22.5a° sin 22.5b° sin 22.5c°

6STEP 6

다섯을 비교해 최솟값 고르기

다섯 모양을 비교해 가장 작은 것을 고릅니다.

{1,1,6}: 0.383, 0.383, 0.707 ≤ {1,2,5}: 0.383, 0.707, 0.924 and {1,3,4}: 0.383, 0.924, 1 and {2,2,4}: 0.707, 0.707, 1 and {2,3,3}: 0.707, 0.924, 0.924

7STEP 7

연속한 세 꼭짓점 재기

연속한 세 꼭짓점을 직접 잽니다.

AC = √(6), h = √(3) - √(6)/2

8STEP 8

정리하고 선택지와 맞추기

정리하면 2분의 3루트2 빼기 2분의 3입니다.

1/2·√(6)·(√(3)-√(6)/2) = √(18)/2 - 6/4 = 3/2√(2)-3/2 ≈ 0.621

정답

3/2√(2)-3/2

팔각형 전체의 넓이는 8·1/2R²sin 45° = 6√(2) ≈ 8.49 이므로, 답 0.621은 그중 약 7 퍼센트입니다. 이웃한 세 꼭짓점이 잘라낼 수 있는 가장 얇은 조각으로서 딱 맞는 크기입니다. 5단계의 일반 공식도 같은 값을 정확히 재현합니다. 6sin² 22.5° sin 135° = 6·(2-√(2))/4·√(2)/2 = (3√(2)-3)/2로, 밑변 곱하기 높이 계산과 일치합니다. 선택지 (C)는 2√(3)-3√(2) ≈ -0.778로 음수라 애초에 넓이가 될 수 없고, (A), (D), (E)는 수치가 어긋나므로 살아남는 것은 (B) 뿐입니다.

💡핵심 정리

그림을 밀어 해들이 원점을 둘러싸게 하고, 그것이 정팔각형임을 본 다음, 바로 옆에 붙어 있는 세 꼭짓점을 고르면 됩니다. 가장 얇은 조각이 이깁니다.

그림을 원점으로 옮기기
모든 해를 한 원 위에 묶기
여덟 해를 고르게 배치하기
간격만이 중요하다
각 모양을 사인의 곱으로 바꾸기
다섯을 비교해 최솟값 고르기
연속한 세 꼭짓점 재기
정리하고 선택지와 맞추기