AMC 10 · 2018 · #21
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
도구 #1 (그림 그리기): 5² + 12² = 13²이므로 C의 각이 직각이다 — C를 원점에 두고 두 직각변을 축 위에 올리면 각 중심이 말이 아니라 수의 짝이 된다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 묻는 것은 넓이 하나인데 서로 무관해 보이는 중심이 셋 주어졌으므로, O, I, M을 각각 따로 찾는 세 개의 작은 일로 나눈다. 도구 #4 (변수 도입하기): ⊙ M에서 모르는 것은 크기뿐이므로 반지름을 a라 부른다; 두 축에 모두 접한다는 조건이 중심을 (a,a)로 못 박아, 글자 하나가 원 전체를 담는다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): "외접원에 안쪽에서 접한다"는 그림이지만, 그것은 두 중심 사이의 거리가 두 반지름의 차와 같다는 뜻 그대로여서 a에 대한 방정식 하나가 된다.
직각을 찾아 좌표 잡기
세 변이 직각삼각형을 이룹니다.
5-12-13 삼각형은 직각삼각형이고, 직각을 원점에 두면 두 직각변이 그대로 좌표축이 된다.
8.G.B.7Draw A Diagram외심 찾기
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점입니다.
원에 내접하는 직각은 늘 지름 위에 서 있으므로, 직각삼각형에서는 빗변이 지름이다.
원 안의 직각은 언제나 지름 위에 서므로, 직각삼각형에서는 빗변이 지름이다.
▸ 왜?
빗변의 중점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있으므로, 그것이 중심이다.
▸ 왜?
그 같은 거리는 정확히 빗변의 절반이며, 직각이 그것을 보증한다.
내심 찾기
넓이와 둘레가 내접원의 반지름을 줍니다.
두 축에 접하는 원은 중심이 두 축에서 같은 거리에 있고, 그 거리가 바로 반지름이다.
10.G-C.A.3Identify Subproblems세 번째 원을 글자 하나로 나타내기
세 번째 원은 문자 하나로 씁니다.
직각의 두 변에 모두 접한다는 조건이 중심을 45° 이등분선 위에 고정하고, 그 위에서는 두 좌표가 같다.
10.G-GPE.B.4Introduce A Variable내접 조건을 방정식으로 바꾸기
안쪽 접함이 거리 방정식이 됩니다.
안쪽에서 접하는 두 원은 중심과 접점이 한 직선 위에 있으므로, 중심 사이의 거리가 정확히 "반지름의 차"이다.
10.G-GPE.A.1Convert To Algebra반지름 구하기
풀면 세 번째 중심이 정해집니다.
양변에 같은 a²과 같은 상수가 들어 있어서, 복잡해 보이던 이차식이 항 두 개짜리로 무너진다.
9.A-REI.B.4Convert To Algebra삼각형 MOI의 넓이 구하기
넓이는 2분의 7입니다.
세 꼭짓점이 모두 수가 되고 나면 넓이를 구하는 데 그림이 전혀 필요 없다.
10.G-GPE.B.7Identify Subproblems직각의 두 변에 모두 접하는 원은 중심이 45° 선 위에 있고, 다른 원에 안쪽에서 접한다는 것은 두 중심이 반지름의 차만큼 떨어져 있다는 뜻일 뿐이다.
- 직각을 찾아 좌표 잡기
- 외심 찾기
- 내심 찾기
- 세 번째 원을 글자 하나로 나타내기
- 내접 조건을 방정식으로 바꾸기
- 반지름 구하기
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