AMC 10 · 2018 · #23

학년 11 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

great-circle-arcspatial-visualizationlaw-of-cosinesisosceles-right-trianglepythagorean-theorem spatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: law-of-cosinespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

완전한 구 모양의 지구 위에 두 사람이 서 있습니다. 한 사람은 적도 위 동경 110도에 있고, 다른 사람은 북위 45도 서경 115도에 있습니다. 지구 중심에서 두 사람을 향하는 두 반지름이 이루는 각의 크기를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

105

(B)

$112\frac{1}{2}$

(C)

120

(D)

135

(E)

150

풀이 과정

전략 공간 상상하기

도구 #17 (공간 상상하기): 위도와 경도는 지도 용어처럼 들리지만, 구 위에서는 중심에서 재는 평범한 두 각일 뿐이다. 그러므로 첫 일은 CA와 CB를 C에서 뻗어 나온 막대로 보고 그 사이의 각들을 읽어내는 것이다. 도구 #1 (그림 그리기): B를 적도면으로 곧장 내려 점 D에 떨어뜨린다. 이 점 하나가 보이지 않던 입체각을 평평한 삼각형들로 된 그림으로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 사면체 ABCD는 네 개의 평범한 삼각형으로 갈라지고, 각각은 익숙한 연습 문제다 — 45°-45°-90° 삼각형, 코사인법칙 삼각형, 피타고라스 삼각형, 그리고 마지막으로 구하려는 각을 품은 삼각형. 도구 #4 (변수 도입하기): 반지름은 주어지지 않았으니 CA = CB = 1로 둔다. 각은 구의 크기에 의존할 수 없다.

1STEP 1

위도와 경도를 각으로 읽기

위도와 경도를 각도로 읽습니다.

CB의 기울기 = 45°, 두 자오선 사이의 회전 = 245° - 110° = 135°

2STEP 2

B를 적도면으로 내리기

북쪽 점을 적도면으로 내립니다.

∠ BDC = ∠ BDA = 90°, ∠ BCD = 45°, ∠ ACD = 135°, CA = CB = 1

3STEP 3

45-45-90 삼각형 BCD 풀기

내려온 삼각형은 직각이등변입니다.

BD = CD = CB · sin 45° = √(2)/2

4STEP 4

삼각형 ACD에 코사인법칙

적도면 안에서 코사인법칙을 씁니다.

AD² = AC² + CD² - 2 · AC · CD · cos 135° = 1 + 1/2 + 1 = 5/2

5STEP 5

직각삼각형 ABD에 피타고라스

피타고라스가 두 점 사이 거리를 줍니다.

AB² = AD² + BD² = 5/2 + 1/2 = 3 → AB = √(3)

6STEP 6

코사인법칙으로 중심각 구하기

다시 코사인법칙을 쓰면 120도입니다.

cos∠ ACB = (1 + 1 - 3)/(2 · 1 · 1) = -1/2 → ∠ ACB = 120° → (C)

정답

120

서로 독립적인 두 확인이 일치한다. 첫째, 반지름 1인 구에서 중심각 θ를 잘라내는 현의 길이는 2sinθ/2이다. 여기서 AB = √(3)이므로 sinθ/2 = √(3)/2, 즉 θ/2 = 60°이고 θ = 120°다. 둘째, B를 자오선을 따라 움직이며 각을 지켜보자. B가 동경 245°의 적도 위에 있다면 각은 경도 차이 그대로 135°일 것이다. B가 북극에 있다면 CA는 적도면 안에 있고 극축은 그 평면에 수직이므로 각은 90°일 것이다. Billy는 그 두 지점 사이에 있으므로 답은 90°와 135° 사이에 엄격히 들어가야 한다. 이것만으로 (D) 135와 (E) 150은 곧바로 지워지고, 120°는 안쪽에 편안히 놓인다. 북쪽으로 올라갈수록 각이 일정한 비율로 줄지는 않으므로 정확히 중간값 112 1/2°도 아니다 — 그것이 바로 함정 보기 (B)다.

💡핵심 정리

위도와 경도는 지구 중심에서 재는 두 개의 각일 뿐이니, 먼 점을 적도면으로 곧장 내리면 구 문제가 평면 삼각형들의 사슬로 바뀐다.

위도와 경도를 각으로 읽기
B를 적도면으로 내리기
45-45-90 삼각형 BCD 풀기
삼각형 ACD에 코사인법칙
직각삼각형 ABD에 피타고라스
코사인법칙으로 중심각 구하기