AMC 10 · 2018 · #25
학년 10 geometry-2d
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원 셋과 점 셋, 여섯 개의 대상이 서로를 묶고 있어서 그림이 엉켜 보인다. 도구 #1 (그림 그리기)이 이를 잘라낸다. 세 중심 O₁, O₂, O₃과 찍힌 점으로 가는 반지름을 그려 넣으면, 접한다는 조건이 곧바로 잴 수 있는 직각으로 바뀐다. 도구 #17 (공간 상상하기)이 진짜 생각이 필요한 한 대목을 맡는다 — 각 중심이 직선 P₁P₂의 어느 쪽에 놓이는지 정하는 일이다. 두 높이를 더할지 뺄지가 여기서 갈리므로, 이 부호 하나가 정답과 오답을 가른다. 다음으로 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 삼각형의 한 변을 두 조각으로 나눈다. 짧은 조각은 30-60-90 삼각형이, 긴 조각은 피타고라스 한 걸음이 재 준다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)이 정삼각형 넓이 공식과 근호 계산으로 마무리하고, 도구 #3 (가능성 지우기)이 결과를 다섯 보기와 맞춰 본다. 이 확인은 앞의 부호 결정까지 함께 뒷받침한다.
세 중심을 못 박기
세 중심 사이 거리가 모두 같습니다.
바깥에서 맞닿은 두 원은 겹치지 않으면서 가장 가까이 붙은 상태이므로, 중심 사이는 정확히 반지름 더하기 반지름이다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram접한다는 조건이 직각이 된다
접함이 직각이 됩니다.
직선이 원을 스치는 그 한 점에서 반지름은 중심에서 직선까지의 가장 짧은 연결이고, 가장 짧은 연결은 언제나 수직인 것이다.
직선이 원을 스치는 점에서 반지름은 중심에서 직선까지 가장 짧은 길이므로, 직각으로 만난다.
▸ 왜?
접선은 정확히 한 점에서 닿으며, 그곳으로 그은 반지름은 접선과 수직이다.
▸ 왜?
중심에서 직선까지 가는 다른 어떤 길도 더 길며, 그래서 그 길이 가장 짧다.
O₂가 어디 있는지 찾기
정삼각형의 60도가 남은 각을 정합니다.
P₂에서의 직각은 삼각형의 60° 모서리보다 넓으므로, 반지름은 변을 지나쳐 그 바깥쪽에 내려앉는다.
10.G-CO.C.9Visualize Spatial RelationshipsO₂에서 수선 내리기
한 중심에서 수선을 내립니다.
길이 4인 반지름이 직선에서 30°만큼 기울면, 높이 2와 직선 위 그림자 2√(3)으로 갈라진다.
10.G-SRT.C.8Identify Subproblems두 중심을 잇는 피타고라스
두 중심을 잇는 피타고라스가 변을 줍니다.
직선 양쪽에 높이를 알고 놓인 두 점 사이에는, 세로 변이 두 높이의 합인 직각삼각형이 놓인다.
8.G.B.7Identify Subproblems정삼각형의 넓이
정삼각형의 넓이 공식을 씁니다.
두 제곱근의 합을 제곱하면 두 제곱은 정수로 남고, 새로운 근호가 생길 수 있는 곳은 교차항 하나뿐이다.
9.A-SSE.A.2Convert To Algebra계수를 근호 안으로 넣기
계수를 근호 안으로 넣으면 552입니다.
제곱근 앞의 수는 제곱해서 근호 안으로 집어넣을 수 있다. k√(n) = √(k² n)이기 때문이다.
8.EE.A.2Eliminate Possibilities접선은 반지름과 직각으로 만나므로, 두 중심을 같은 변 위로 내려라. 30-60-90 삼각형 하나가 2√(3)을, 피타고라스 한 걸음이 2√(7)을 주고, 변은 그 둘의 합이다.
- 세 중심을 못 박기
- 접한다는 조건이 직각이 된다
- O₂가 어디 있는지 찾기
- O₂에서 수선 내리기
- 두 중심을 잇는 피타고라스
- 정삼각형의 넓이
- 계수를 근호 안으로 넣기