AMC 10 · 2018 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremarea-circlesisosceles-right-triangle identify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-circles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 원 안에 현이 하나 있습니다. 현은 두 끝점이 원 위에 있는 선분이고 그 길이는 10입니다. 원의 중심에서 그 현까지의 가장 짧은 거리는 5입니다. 반지름도 지름도 주어지지 않았습니다. 이 두 길이만으로 원 전체의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$25\pi$

(B)

$50\pi$

(C)

$75\pi$

(D)

$100\pi$

(E)

$125\pi$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 주어진 두 수는 아직 그려지지 않은 선분을 가리킨다. 원, 현, 중심에서 내린 수선, 그리고 현의 두 끝점으로 가는 반지름을 그리면 직각삼각형이 저절로 나타나고, 그 삼각형이 곧 문제 전부이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 구하는 것은 넓이지만 넓이 공식에는 반지름이 필요하므로, 실제 할 일은 작은 첫 과제(직각삼각형에서 반지름 얻기)와 사소한 두 번째 과제(π r²에 넣기)로 갈라진다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 넓이 공식이 필요로 하는 것은 r가 아니라 r²이므로, 피타고라스 정리가 r²을 내주는 순간 멈추면 되고 제곱근은 아예 구할 필요가 없다.

1STEP 1

말이 묘사하는 그림을 그린다

말이 묘사하는 직각삼각형을 그립니다.

AB=10, OM=5, OM ⊥ AB, OA=OB=r

2STEP 2

수선이 현을 반으로 자른다

수선이 현을 반으로 자릅니다.

AM=BM=10/2=5

3STEP 3

반쪽 그림에 피타고라스를 쓴다

피타고라스가 반지름의 제곱을 줍니다.

r² = OM² + AM² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50

4STEP 4

r²에서 멈추고 넓이를 구한다

거기서 멈추면 넓이는 50파이입니다.

넓이 = π r² = π · 50 = 50π → (B)

정답

50π

크기를 점검해 보자. 현 하나만으로도 10을 가로지르므로 지름은 최소 10, 반지름은 최소 5이다. 이것만으로도 25π보다 작은 넓이는 모두 배제되고, 25π 자체는 r=5를 뜻하는데 그러면 현이 중심을 지나 거리가 5가 아니라 0이 되어 버린다. 반대쪽으로는, 현의 끝점이 중심에서 옆으로 5, 위로 5 떨어져 있으므로 r=√(50)≈ 7.07이고, 이는 5와 100π를 만드는 10 사이에 넉넉히 들어간다. 따라서 50π만이 말이 되는 범위에 있다. 두 번째 점검: OM=AM=5이므로 △ OMA는 직각이등변삼각형이고 r = 5√(2), 즉 r² = (5√(2))² = 25 · 2 = 50이다. 다른 경로로도 같은 50이 나온다. 답은 (B) 50π이다.

💡핵심 정리

현의 반쪽, 중심에서의 거리, 반지름이 하나의 직각삼각형을 이루므로 r² = 5²+5² = 50이고, r 자체는 구하지 않아도 넓이 π r²는 50π이다.

말이 묘사하는 그림을 그린다
수선이 현을 반으로 자른다
반쪽 그림에 피타고라스를 쓴다
r²에서 멈추고 넓이를 구한다

말이 묘사하는 그림을 그린다

수선이 현을 반으로 자른다

반쪽 그림에 피타고라스를 쓴다

r²에서 멈추고 넓이를 구한다

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