AMC 10 · 2018 · #5
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
도구 #16 (관점 바꾸기): "소수를 적어도 하나"는 부분집합이 소수를 한 개, 두 개, 세 개, 네 개 가질 수 있어 직접 세기 까다롭다. 반대 사건인 "소수가 하나도 없음"은 깔끔한 한 가지 경우이므로, 그것을 세서 전체에서 빼면 된다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 먼저 여덟 수를 소수와 합성수로 분류해 각각 몇 개인지 정확히 파악한다. 도구 #3 (가능성 지우기): 결과는 다섯 보기 중 하나여야 하므로 240을 확인하고 나머지를 배제할 수 있다.
소수와 합성수로 분류
수를 소수와 합성수로 나눕니다.
소수와 합성수가 각각 몇 개인지 아는 것만으로 셈에 필요한 모든 정보가 갖춰진다.
4.OA.B.4Make A Systematic List여사건으로 뒤집기
적어도 하나는 여사건으로 뒤집습니다.
"적어도 하나"는 "전체에서 하나도 없는 경우를 뺀 것"으로 세는 게 가장 쉽다.
적어도 하나는 전체에서 하나도 없는 경우를 뺀 것으로 세는 편이 가장 쉽다.
▸ 왜?
모든 부분집합은 소수를 지니거나 하나도 지니지 않으므로, 두 개수가 합쳐 전체가 된다.
▸ 왜?
각 수는 서로 상관없이 들거나 들지 않으므로, 두 개수 모두 두 갈래 선택의 곱이다.
모든 부분집합 세기
전체 부분집합은 2의 8제곱입니다.
여덟 수 각각에 대한 독립적인 들어감/빠짐 두 선택이 곱해져 2⁸이 된다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement소수 없는 부분집합 세기
소수 없는 것은 합성수만으로 만듭니다.
소수 넷을 모두 금지하면 고를 수 있는 것은 합성수 넷뿐이다.
6.EE.A.1Change Focus Count The Complement빼서 마무리
빼면 240입니다.
모든 부분집합에서 소수 없는 것들을 빼면 정확히 소수가 든 것들만 남는다.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement"적어도 하나"의 소수를 가진 부분집합을 세려면, 전체 2⁸ = 256개에서 합성수만 쓰는 2⁴ = 16개를 빼면 240이 나온다.
- 소수와 합성수로 분류
- 여사건으로 뒤집기
- 모든 부분집합 세기
- 소수 없는 부분집합 세기
- 빼서 마무리