AMC 10 · 2018 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryarea-circlessimilar-figures convert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-circles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

선분 AB가 어떤 원의 지름이고 길이가 24입니다. 그래서 중심은 AB의 중점이고 반지름은 12입니다. 점 C가 원 위를 돌아다니되 A나 B에는 놓이지 않습니다. C의 위치마다 삼각형 ABC의 무게중심을 표시합니다. 그 무게중심들이 자기만의 닫힌 곡선을 그립니다. 그 곡선이 둘러싸는 넓이를 정수로 반올림해 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수로 바꾸기): 움직이는 점은 말로 좇기 어렵지만, 그림을 좌표에 올려놓고 무게중심 공식을 쓰면 답이 단순한 계산으로 떨어진다. 도구 #1 (그림 그리기): 중심 O를 원점에 두고 A=(-12,0), B=(12,0)로 놓으면 A와 B가 원점에 대해 대칭이 되어, 무게중심에 대한 그들의 기여가 0으로 사라진다. 도구 #5 (패턴 찾기): 무게중심 공식은 모든 무게중심이 자기 점 C를 O 쪽으로 1/3만큼 줄인 점임을 드러낸다 — 큰 원을 같은 모양의 작은 원으로 바꾸는 하나의 축소 규칙이어서, C를 점마다 일일이 좇을 필요가 없다.

1STEP 1

그림을 좌표에 올리기

그림을 좌표에 올립니다.

O=(0,0), A=(-12,0), B=(12,0), C=(x,y) , x²+y²=144

2STEP 2

무게중심 공식 적용하기

무게중심은 세 꼭짓점의 평균입니다.

G=((-12+12+x)/3, (0+0+y)/3)=(x/3, y/3)

3STEP 3

공식을 축소 규칙으로 읽기

두 꼭짓점이 상쇄돼 3분의 1 축소만 남습니다.

G=1/3 C (O 중심, 비율 1/3인 닮음변환)

4STEP 4

원 전체를 줄이기

원 전체가 그만큼 작아집니다.

OG=1/3 OC=1/3 · 12 = 4 → 무게중심들은 반지름 4인 원을 이룬다

5STEP 5

작은 원의 넓이 구하기

작은 원의 넓이는 약 50입니다.

넓이=π · 4² = 16π ≈ 50.27 ≈ 50 → (C)

정답

무게중심 원의 반지름은 4로 원래 반지름 12의 정확히 3분의 1이므로, 그 넓이는 큰 원의 넓이 π · 12² = 144π의 (1/3)²=1/9이어야 한다. 실제로 1/9 · 144π = 16π ≈ 50.3으로 일치한다. 값 16π는 50으로 반올림되어 보기 (C)이다. 다른 보기는 틀린 반지름에 해당한다: 25≈π r²이려면 r≈ 2.8, 75이려면 r≈ 4.9가 필요한데, 깔끔한 1/3 축소와 맞지 않으므로 배제된다.

💡핵심 정리

무게중심은 언제나 점 C를 중심 쪽으로 3분의 1만큼 끌어당긴 점이므로 반지름 4인 원을 그리고, π·4²=16π≈ 50이다.

그림을 좌표에 올리기
무게중심 공식 적용하기
공식을 축소 규칙으로 읽기
원 전체를 줄이기
작은 원의 넓이 구하기

그림을 좌표에 올리기

무게중심 공식 적용하기

공식을 축소 규칙으로 읽기

원 전체를 줄이기

작은 원의 넓이 구하기

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