AMC 10 · 2019 · #22

학년 11 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
tangent-circlessimilar-trianglesequilateral-trianglepythagorean-theoremratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
중심이 같은 두 원이 있습니다. 큰 원은 반지름이 20, 작은 원은 17입니다. 정삼각형 하나가 그 고리 안에 놓여 있습니다. 한 꼭짓점은 큰 원에 닿고, 마주 보는 변을 지나는 직선은 작은 원에 스치듯 접합니다. 그 꼭짓점에서 중심으로 가는 선분이 마주 보는 변을 만나는 점이 그 변을 3 대 1로 나눕니다. 정삼각형의 한 변의 길이를 구해 요구된 꼴로 쓰고 그 안의 네 정수를 모두 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
42
(B)
86
(C)
92
(D)
114
(E)
130
풀이 과정
전략 그림 그리기

그림에 점 두 개를 더 찍기 전에는 계산할 것이 없습니다. 그래서 그리기부터 합니다. 직선 BC가 γ와 닿는 점을 S, BC의 중점을 M이라 표시합니다. 이 두 점은 같은 직선 BC 위에 직각 두 개를 만들어 줍니다. 반지름은 접선과 수직으로 만나므로 OS ⊥ BC이고, 정삼각형의 높이는 밑변의 중점에 떨어지므로 AM ⊥ BC입니다. 한 직선 위의 직각 두 개에 P에서 생기는 맞꼭지각을 더하면 닮은 삼각형 한 쌍이 나오고, 이 닮음이 삼각형의 크기와 두 반지름을 잇는 다리 전체입니다. 그다음 변의 길이를 s로 놓고(변수 도입하기) 작업을 작은 조각으로 나눕니다(작은 문제로 쪼개기). 먼저 P가 BC 위 어디에 있는지, 다음으로 길이 AP, 그다음 닮음비, 마지막으로 s에 대한 일차방정식 하나입니다.

1STEP 1

두 직각 표시하기

접선과 중점 수선이 직각을 만듭니다.

OS ⊥ BC, OS = 17 and AM ⊥ BC, BM = MC
2STEP 2

나누는 점의 위치

3 대 1 비가 중점에서의 거리를 줍니다.

BP = 3s/4, CP = s/4, PM = BP - BM = 3s/4 - s/2 = s/4
3STEP 3

꼭짓점까지의 거리

피타고라스가 그 길이를 줍니다.

AP² = AM² + PM² = 3s²/4 + s²/16 = 13s²/16 → AP = √(13)/4s, AM/AP = √(3)/2s/√(13)/4s = 2√(3)/√(13)
4STEP 4

닮은 삼각형 찾기

두 직각과 맞꼭지각이 닮음을 만듭니다.

∠ AMP = ∠ OSP = 90°, ∠ APM = ∠ OPS → △ PMA ∼ △ PSO → AM/OS = PM/PS = AP/OP
5STEP 5

방정식 하나로 만들기

닮음비가 방정식 하나가 됩니다.

AP + 17 AP/AM = 20 → AP·(AM + 17)/AM = 20 → (AM + 17)/20 = AM/AP = 2√(3)/√(13)
6STEP 6

변의 길이 구하기

풀면 요구된 꼴이 그대로 나옵니다.

√(3)/2s = 40√(3)/√(13) - 17 → s = 80/√(13) - 34/√(3) = AB, m+n+p+q = 80+13+34+3 = 130
7STEP 7

네 수 더하기

더하면 130입니다.

AB = 80/√(13) - 34/√(3) → (m,n,p,q) = (80,13,34,3), m+n+p+q = 130
정답
130
수치로 보면 80/√(13) ≈ 22.19, 34/√(3) ≈ 19.63이므로 s ≈ 2.56입니다. 작은 삼각형인데 이는 정확히 맞습니다. 반지름 17과 20 사이의 고리는 폭이 3뿐이라 그 안에 끼워 넣은 정삼각형이 클 수 없습니다. 그림으로 확인하면 AM ≈ 2.22이므로 AP ≈ 2.31, OP ≈ 17.69이고, PS = √(OP² - OS²) ≈ 4.91이 되어 닮음비 PM/PS ≈ 0.64/4.91 ≈ 0.130이 AM/OS ≈ 2.22/17 ≈ 0.130과 일치합니다. 좌표로 삼각형을 실제로 만들어 보면 모든 조건이 맞습니다. 세 변의 길이가 같고, |OA| = 20이며, O에서 직선 BC까지의 거리가 정확히 17이고, BP/CP = 3입니다. O에 가장 가까운 꼭짓점은 약 17.53인 C로 γ 바깥에 안전하게 있습니다. 접점 S는 C보다 더 바깥, 즉 선분 위가 아닌 곳에 떨어지는데, 덕분에 삼각형은 작은 원 바깥에 머물면서도 변을 연장한 직선은 그 원에 닿을 수 있습니다. 답 (E)가 맞습니다.
💡핵심 정리

직선 BC 위로 수선 두 개를 내리세요. 하나는 A에서, 하나는 O에서. 그러면 P에 생긴 나비넥타이 닮음이 삼각형의 크기를 두 반지름에 곧바로 이어 줍니다.

  • 직각 두 개를 표시하기
  • 비로 P의 위치 정하기
  • 피타고라스로 AP 구하기
  • 닮은 삼각형 찾아내기
  • 닮음을 방정식 하나로 바꾸기
  • 변의 길이 구하기
  • 요구한 합 읽어내기

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