AMC 10 · 2019 · #25
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
점의 좌표를 15 번 추적하는 것은 불가능하지만, 문제는 각만 묻는다. 도구 #4(변수 도입): 각을 x_n, y_n, z_n 으로 이름 붙이면 매 회차가 작도가 아니라 수의 갱신이 된다. 도구 #1(그림 그리기): 수선의 발에서 생기는 두 직각이 네 점을 한 원 위에 올려놓고, 이것이 그림을 각의 식으로 바꾸는 열쇠다. 도구 #5(패턴 찾기): 그 식 x_n = 180° - 2x_n-1은 매 회차 똑같다. 도구 #9(더 쉬운 문제): 각 자체 대신 60° 에서 벗어난 차이만 추적하면 규칙이 "-2를 곱한다"로 단순해진다. 도구 #14(극단의 원리): 가장 큰 차이가 30° 를 넘는 순간 둔각이 되므로, 문제 전체가 2의 거듭제곱에 대한 부등식 하나로 줄어든다.
한 회차가 만드는 것 보기
한 회차가 만드는 새 삼각형을 봅니다.
새로 생기는 점은 수선의 발 셋뿐이므로, 전체 과정은 같은 작도의 반복이다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram점 말고 각에 이름 붙이기
점이 아니라 각에 이름을 붙입니다.
문제는 모양만 묻고, 세 각이 삼각형의 모양을 완전히 결정한다.
10.G-CO.C.10Introduce A Variable두 직각이 원을 만든다
두 직각이 네 점을 한 원 위에 올립니다.
어떤 선분을 90° 로 바라보는 점은 그 선분을 지름으로 하는 원 위에 있다.
어떤 선분을 직각으로 바라보는 두 점은 그 선분을 지름으로 하는 원 위에 있다.
▸ 왜?
그 선분의 중점은 두 바라보는 점에서 같은 거리에 있으므로, 그것들이 하나의 반지름을 공유한다.
▸ 왜?
원 위의 각은 맞은편 호를 재며, 직각은 정확히 반원의 호에 해당한다.
매 회차 똑같은 규칙 하나
매 회차 같은 규칙이 반복됩니다.
매 회차 똑같은 작도를 하므로 똑같은 각의 식이 나올 수밖에 없다.
10.G-CO.C.9Look For A Pattern60도에서의 차이를 추적하기
60도에서의 차이가 두 배씩 커집니다.
움직이지 않는 점을 기준으로 재면 복잡한 규칙이 단순한 배수가 된다.
9.F-BF.A.1Solve An Easier Related Problem세 개의 처음 차이를 넣기
세 시작 차이를 그대로 넣습니다.
0.001 이라는 아주 작은 차이도 매 회차 두 배가 되면 금방 커진다.
8.EE.A.1Look For A Pattern규칙이 유효했는지 확인
규칙이 계속 유효한지 확인합니다.
예각삼각형에서만 증명한 규칙은, 답 직전까지 모두 예각이어야 믿을 수 있다.
10.G-CO.C.10Extreme Principle90도를 넘는 첫 회차 찾기
90도를 처음 넘는 회차는 15입니다.
2의 거듭제곱이 30000을 넘는 순간 차이가 30° 를 넘는다.
9.A-CED.A.1Extreme Principle한 회차마다 모든 각 x 가 180° - 2x 로 바뀌는데, 이는 60° 는 그대로 두고 60° 에서 벗어난 거리는 부호를 뒤집으며 두 배로 늘린다 — 그래서 0.001° 의 차이는 0.001 × 2ⁿ ＞ 30이 되어야 하고, 그것이 처음 일어나는 때가 n = 15이다.
- 한 회차가 만드는 것 보기
- 점 말고 각에 이름 붙이기
- 두 직각이 원을 만든다
- 매 회차 똑같은 규칙 하나
- 60도에서의 차이를 추적하기
- 세 개의 처음 차이를 넣기
- 규칙이 유효했는지 확인
- 90도를 넘는 첫 회차 찾기