AMC 10 · 2019 · #11

학년 10 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

combinations-basicspatial-visualizationcaseworkpair-counting spatial-visualizationcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

정육면체에는 모서리가 열두 개 있습니다. 그중 서로 다른 두 모서리를 고릅니다. 그 두 모서리가 한 평면 위에 함께 놓이는 순서 없는 쌍이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #17 (공간 상상하기)이 먼저입니다. "몇 개" 를 묻는 문제지만, 어떤 모서리 쌍이 한 평면에 놓이는지부터 알아야 셀 수 있고 그 판단은 머릿속 그림의 문제이기 때문입니다. 이어서 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 조건을 만족하는 쌍을 두 경우 — 같은 면에 놓인 모서리, 같은 면에 없지만 평행한 모서리 — 로 나눕니다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)가 각 경우 안에서 실제로 세면서 중복을 막습니다. 도구 #16 (관점 바꾸기)는 독립 검산용으로 남겨 둡니다: 조건을 만족하지 않는 꼬인 위치 쌍을 세어 빼는 방법입니다.

1STEP 1

두 직선이 한 평면에 놓일 때

만나거나 평행하면 한 평면입니다.

두 직선이 한 평면 위 ⇔ 만나거나 평행

2STEP 2

먼저 전체 쌍의 수 세기

전체 쌍의 수를 먼저 셉니다.

C(12, 2) = (12 · 11)/2 = 66

3STEP 3

경우 1: 두 모서리가 같은 면에 있을 때

같은 면 위의 쌍이 대부분입니다.

6 · C(4, 2) = 6 · 6 = 36

4STEP 4

경우 2: 멀리 떨어진 평행 짝

멀리 떨어진 평행 짝도 세야 합니다.

(12 · 1)/2 = 6

5STEP 5

두 경우를 더하기

두 경우를 더하면 42입니다.

36 + 6 = 42 → (D) 42

정답

모서리 하나의 관점에서 다시 세어 봅니다. 각 모서리는 2 개의 면에 속하고 각 면은 나머지 모서리를 3 개씩 주는데, 두 면이 공유하는 것은 고정한 그 모서리뿐이므로 두 묶음은 겹치지 않아 같은 면 짝이 6 개입니다. 여기에 멀리 있는 평행 짝 1 개를 더하면 모서리당 조건을 만족하는 짝이 7 개입니다. 따라서 (12 · 7)/2 = 42로 일치합니다. 오답 선택지는 중간에 멈추기 쉬운 지점과 정확히 겹칩니다. (E) 66은 조건 없는 전체 쌍, (C) 36은 경우 1만 센 값, (A) 12는 모서리 개수입니다. 42는 36과 66 사이에 있으므로 2 단계에서 잡아 둔 상한 검사도 통과합니다.

💡핵심 정리

두 모서리는 서로 만나거나 평행할 때에만 한 평면을 공유하므로, 같은 면에 놓인 36 쌍을 세고 정육면체를 가로지르는 평행 짝 6 쌍을 더하면 (D) 42입니다. 꼼꼼한 나열 말고 필요한 개념은 꼬인 위치에는 평면이 없다는 사실 하나뿐입니다.

두 직선이 한 평면에 놓일 때
먼저 전체 쌍의 수 세기
경우 1: 두 모서리가 같은 면에 있을 때
경우 2: 멀리 떨어진 평행 짝
두 경우를 더하기

두 직선이 한 평면에 놓일 때

먼저 전체 쌍의 수 세기

경우 1: 두 모서리가 같은 면에 있을 때

경우 2: 멀리 떨어진 평행 짝

두 경우를 더하기

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