AMC 10 · 2019 · #12
학년 11 geometry-2d
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구하려는 각 ∠ BAD는 어느 한 삼각형의 각이 아니다. 삼각형 ABC의 45° 각과 삼각형 ACD가 A에서 만드는 미지의 각을 합친 것이다. 그래서 문제가 깔끔한 작은 문제들로 나뉜다. 먼저 둘레 조건에서 삼각형 ACD의 변의 길이를 확정하고, 그 변들로부터 A에서의 각을 읽어낸 뒤, 다시 합치면 된다. 합치는 것이 이득인 이유는 45°만큼의 이동을 두 배 하면 사인이 코사인으로 바뀌어 배각 공식 한 번만 남기 때문이다.
공유하는 빗변 구하기
공유하는 빗변을 먼저 구합니다.
AC는 두 삼각형에 모두 속하므로, 이것을 먼저 재는 것이 두 둘레를 연결하는 고리가 된다.
10.G-SRT.C.8Draw A Diagram공통인 변 지우기
둘레 조건에서 공통 변이 지워집니다.
두 둘레에서 공통인 변을 빼면 거추장스러운 √(2)가 사라지고 나눌 자연수 2만 남는다.
두 둘레에서 공통된 변을 빼면 거추장스러운 부분이 사라지고 나눌 정수만 남는다.
▸ 왜?
각 둘레는 변을 더한 것이므로, 이름 붙은 한 변을 덜어 내는 일은 정확하다.
▸ 왜?
양쪽에서 같은 양을 덜어 내도 그 차는 그대로 남는다.
ACD의 변 길이 구하기
피타고라스가 두 변을 정합니다.
한 직각변을 2에서 빗변을 뺀 값으로 쓰면 제곱항끼리 상쇄되어, 이차식처럼 보이던 식이 쉬운 일차방정식으로 무너진다.
9.A-REI.B.3Convert To AlgebraA에서의 각 읽어내기
새 삼각형에서 각의 사인을 읽습니다.
직각삼각형의 세 변을 알면 예각의 삼각비는 그중 두 변의 비일 뿐이다.
10.G-SRT.C.6Identify SubproblemsA의 각을 두 조각으로 보기
전체 각을 45도와 그 각으로 쪼갭니다.
"바깥쪽으로"라는 말이 바로 A에서의 두 각이 겹치지 않고 더해진다는 보증이다.
10.G-CO.C.10Identify Subproblems사인을 코사인으로 바꾸기
90도를 더한 사인은 코사인이 됩니다.
90°만큼의 이동은 사인과 코사인을 맞바꾸므로, 각을 두 배 하는 순간 거추장스러운 45°가 사라진다.
11.F-TF.C.9Change Focus Count The Complement배각 공식으로 마무리
배각 공식으로 9분의 7이 나옵니다.
답이 sinθ에만 의존하므로 복잡한 cosθ = 2√(2)/3은 끝까지 쓸 일이 없다.
11.F-TF.C.8Convert To Algebra두 도형이 한 변을 공유하면 둘레가 같다는 조건은 결국 나머지 변들에 대한 이야기이고, 구하려는 각이 45°에 무언가를 더한 꼴이면 두 배 하는 순간 사인이 코사인으로 바뀌어 공식 한 번으로 끝난다.
- 공유하는 빗변 구하기
- 공통인 변 지우기
- ACD의 변 길이 구하기
- A에서의 각 읽어내기
- A의 각을 두 조각으로 보기
- 사인을 코사인으로 바꾸기
- 배각 공식으로 마무리