AMC 10 · 2019 · #17
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #13 (대수로 바꾸기): "정삼각형" 은 세 거리에 대한 진술이고, 복소평면에서 거리는 절댓값(modulus)이므로 기하 조건이 |z| = |z³| = |z³ - z| 라는 하나의 등식 연쇄로 바뀝니다 — 그림에 기댄 경우 나누기가 필요 없습니다. 도구 #4 (변수 도입): r = |z| 로 이름 붙이면 첫 등식이 r = r³ 라는 한 줄 방정식이 됩니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로): 살아남은 조건들은 모두 z²만 언급하므로, 미지수를 w = z²로 바꿔 먼저 풀고 마지막에 제곱근을 취합니다 — 개수가 두 배로 늘어나는 지점이 바로 그 마지막 단계입니다. 도구 #1 (그림): 줄어든 조건은 w 가 0 에서 거리 1, 1 에서 거리 1 인 점이라는 뜻이므로 두 원의 교차 — 대수 계산 전에 그림만으로 "정확히 두 개" 가 보입니다. 도구 #3 (가능성 지우기): 선택지 (E)는 무수히 많다고 주장하므로, 크기뿐 아니라 방향까지 함께 고정된다는 것을 보여야 합니다.
삼각형을 세 거리로 바꾸기
삼각형을 세 거리로 바꿉니다.
복소평면의 변의 길이는 차의 크기일 뿐이므로, "정삼각형" 은 절댓값 세 개가 일치한다는 말이다.
11.N-CN.A.1Convert To Algebra첫 등식이 크기를 고정
첫 등식이 크기를 고정합니다.
세제곱은 길이를 자기 제곱만큼 늘리므로, 그대로 남는 양의 길이는 1 뿐이다.
11.N-CN.A.3Introduce A Variable세 번째 변을 인수분해
세 번째 변을 인수분해합니다.
|z| = 1 일 때 z 를 앞으로 빼내는 데 드는 비용이 0이고, 차수는 3에서 2로 떨어진다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable미지수를 w = z 제곱 으로 교체
미지수를 제곱으로 바꿉니다.
남은 조건들이 모두 z²만 언급하므로, 풀어야 할 대상을 z²로 삼는다.
11.N-CN.A.2Solve An Easier Related Problem두 원, 두 교점
두 원이 두 점에서 만납니다.
반지름이 같은 두 원의 중심 거리가 지름보다 가까우면 항상 두 점에서 만난다 — 중심선 위쪽에 하나, 아래쪽에 하나.
8.G.B.8Draw A Diagram두 원 연립방정식 풀기
연립을 풀어 두 값을 얻습니다.
두 원의 방정식을 빼면 제곱항이 없어지고 직선 하나만 남는다.
11.A-REI.C.7Introduce A Variable제곱을 되돌리면 개수가 두 배
제곱을 되돌리면 두 배가 됩니다.
0이 아닌 복소수는 부호가 반대인 제곱근을 정확히 두 개 가지므로, z² 에서 z 로 돌아올 때 개수가 두 배가 된다.
0이 아닌 모든 복소수는 부호가 반대인 제곱근을 정확히 둘 지니므로, 개수가 두 배가 된다.
▸ 왜?
어떤 수와 그 반대수는 제곱이 같으므로, 두 근이 짝을 이루어 온다.
▸ 왜?
복소수는 길이와 방향을 지닌 점이므로, 방향을 반으로 나누면 선택이 둘 생긴다.
꼭짓점이 서로 다른지 확인하고 세기
모두 유효해 답은 4입니다.
길이는 1로, 방향은 네 가지로 묶여 자유롭게 남은 것이 없으니 답은 "무수히 많음" 이 아니라 유한하다.
11.N-CN.A.1Eliminate Possibilities삼각형의 각 변은 절댓값이므로 정삼각형이라는 말은 |z| = |z³| = |z³ - z| 라는 뜻이에요. 첫 등식이 |z| = 1을 강제하고 둘째 등식은 |z² - 1| = 1로 줄어들어 z²의 자리가 딱 두 곳으로 정해지는데, 각 자리마다 제곱근이 두 개씩이니 z 는 4 개, 답은 (D).
- 삼각형을 세 거리로 바꾸기
- 첫 등식이 크기를 고정
- 세 번째 변을 인수분해
- 미지수를 w = z 제곱 으로 교체
- 두 원, 두 교점
- 두 원 연립방정식 풀기
- 제곱을 되돌리면 개수가 두 배
- 꼭짓점이 서로 다른지 확인하고 세기