AMC 10 · 2019 · #18
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
도구 #17(공간 상상하기)이 앞장선다. 이 문제 전체가 높이를 들여다보기 전에는 보이지 않는 공간적 사실 하나에 달려 있기 때문이다: P와 Q는 같은 높이에 놓이고, R는 PQ의 중점 바로 위에 놓인다. 이 관찰 하나가 공중에 비스듬히 떠 있는 삼각형을 평범한 밑변 곱하기 높이 계산으로 바꿔 준다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 사실을 바람이 아니라 확인 가능한 것으로 만든다: 꼭짓점 A에서의 수직 모서리 AE가 이미 축이므로 그림이 좌표계를 그냥 내어 주고 모든 점이 세 개의 수가 된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 마무리를 정리한다 — 세 점을 찾고, 밑변을 재고, 그 밑변에 수직인 높이를 재고, 합친다. 변의 길이와 헤론 공식으로 넓이를 곧장 공격해도 되지만, 높이 지름길이 필요로 하는 것보다 계산이 훨씬 많아진다.
각뿔을 좌표에 놓기
각뿔을 좌표에 놓습니다.
꼭짓점에서 수직으로 선 모서리는 이미 축이므로, 그림이 좌표계를 공짜로 내어 준다.
10.G-MG.A.1Draw A DiagramP, Q, R의 위치 찾기
세 점의 좌표를 구합니다.
선분을 따라 일정한 비율만큼 가면 세 좌표의 변화량이 모두 그 같은 비율로 줄어든다.
선분을 따라 정해진 몫만큼 가면 세 좌표의 변화가 모두 그 같은 몫만큼 줄어든다.
▸ 왜?
선분의 몫은 그것을 같은 조각으로 자른 것이므로, 각 조각의 크기가 같다.
▸ 왜?
하나의 배율이 모든 좌표 변화를 함께 늘리므로, 가는 길에 일그러지는 것이 없다.
밑변으로 PQ 재기
두 점을 잇는 선분을 밑변으로 잡습니다.
높이가 같은 두 점은 평평한 바닥에서의 거리만큼만 떨어져 있으므로 수직 항이 제곱근에서 사라진다.
8.G.B.7Identify SubproblemsR는 PQ의 중점 바로 위에 있다
셋째 점이 중점 바로 위에 있습니다.
꼭짓점이 밑변의 중점 바로 위에 줄을 서는 순간, 높이는 계산해야 할 거리이기를 그만두고 높이끼리의 뺄셈이 된다.
10.G-GPE.B.4Visualize Spatial Relationships밑변과 높이를 합치기
밑변과 높이를 곱하면 2루트2입니다.
공간에 비스듬히 놓인 삼각형도, 고른 밑변에 수직인 높이를 쓰기만 하면 평면 삼각형과 똑같은 넓이 공식을 따른다.
10.G-GPE.B.7Identify Subproblems한 모서리가 꼭짓점에서 곧게 서 있으면 그것을 축으로 삼아라: "길의 3분의 1"이 좌표 위의 단순한 계산이 되고, 삼각형의 높이는 뺄셈이 된다.
- 각뿔을 좌표에 놓기
- P, Q, R의 위치 찾기
- 밑변으로 PQ 재기
- R는 PQ의 중점 바로 위에 있다
- 밑변과 높이를 합치기