AMC 10 · 2019 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremcoordinate-geometrychord-perpendicular-from-centerperpendicular-bisectorarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-circles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

두 점 (6,13)과 (12,11)이 어떤 원 위에 있습니다. 그 두 점에서 그은 접선이 x축 위의 한 점에서 만납니다. 원의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{83\pi}{8}$

(B)

$\frac{21\pi}{2}$

(C)

$\frac{85\pi}{8}$

(D)

$\frac{43\pi}{4}$

(E)

$\frac{87\pi}{8}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기): 원·두 접점·x 축의 외부점을 그리면 |PA| = |PB| 와 △ OAP 직각이 한눈에 보임. 도구 #7 (쪼개기): (a) |PA| = |PB| 로 P 찾기, (b) |PA| 계산, (c) 직각삼각형/Ptolemy 로 r, |PA|, |PO| 관계, (d) r² 해결. 도구 #13 (대수): 각 단계는 짧은 대수 (선형 방정식, 거리 제곱, 피타고라스, Ptolemy).

1STEP 1

직각 표시하기

접선은 반지름과 직각입니다.

P = (t, 0), OA ⊥ PA, OB ⊥ PB

2STEP 2

만나는 점 찾기

두 접선 길이가 같다는 조건이 그 점을 줍니다.

(t-6)² + 169 = (t-12)² + 121 → 12t = 60 → t = 5

3STEP 3

접선 길이 구하기

그 점에서의 접선 길이를 계산합니다.

|PA|² = |PB|² = 170

4STEP 4

현과 중점 재기

두 접점을 잇는 현을 잽니다.

|AB| = 2√(10), |PM| = 4√(10)

5STEP 5

넓이로 관계 만들기

같은 넓이를 두 방식으로 쓰면 식이 나옵니다.

2 √(170) · r = PO · 2√(10) → PO = r√(17)

6STEP 6

반지름의 제곱 구하기

풀면 반지름의 제곱이 나옵니다.

17 r² = r² + 170 → r² = 85/8

7STEP 7

넓이 읽기

넓이는 8분의 85파이입니다.

넓이 = π r² = (85 π)/8

정답

85π/8

독립 좌표 계산으로 검증. 중심 O 는 AB 의 수직이등분선 위. AB 의 기울기 -1/3, 수직이등분선 기울기 3, M = (9, 12) 지남: y = 3x - 15. 중심은 PM 직선 위에도 있고, P = (5, 0)와 M = (9, 12) 잇는 직선 또한 y = 3x - 15 ✓ (같은 선 — P, M, O 공선). 또 O 는 A 를 지나며 PA 와 수직인 직선 위. PA 방향 (1, 13), 수직 (-13, 1). A = (6, 13) 에서 매개변수 (6 - 13s, 13 + s). y = 3x - 15에 대입: 13 + s = 3(6 - 13s) - 15 = 3 - 39s, 40s = -10, s = -1/4. O = (37/4, 51/4). r² = (37/4 - 6)² + (51/4 - 13)² = (13/4)² + (-1/4)² = 170/16 = 85/8 ✓. 같은 값. 넓이 = 85π/8.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 피타고라스와 '반지름 ⟂ 접선' 만 알면 풀려요 — |PA| = |PB| 일차방정식으로 P = (5, 0), |PA|² = 170 계산, 직각삼각형/Ptolemy 관계로 16 r² = 170, 넓이는 (85 π)/8.