AMC 10 · 2019 · #21

학년 11 algebra
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role
vieta-formulasquadratic-equationspolynomial-rootscaseworksign-analysis caseworksystematic-enumerationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulasquadratic-equations
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
실수 계수를 갖고 최고차항 계수가 0이 아닌 이차식 중에서, 두 근의 집합이 세 계수의 집합과 정확히 같은 것이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
4
(C)
5
(D)
6
(E)
infinitely many
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기)가 뼈대다. 계수 자리 세 개를 원소가 최대 두 개인 근의 집합으로 채워야 하므로 중복이 강제되고, 어떤 계수끼리 같은지의 패턴은 몇 가지뿐이다. 모두 나열하면 빠뜨릴 수 없다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 비에트 정리를 세워 집합 조건을 a, b, c 의 방정식으로 바꾼다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)로 각 경우의 작은 연립을 푼다. 도구 #3 (가능성 지우기)로 모순이거나 중복인 가지를 제거한다. 도구 #1 (그림 그리기)로 남은 삼차식 a³+a+1=0의 실근 개수를 그래프로 판정한다.

1STEP 1

근과 계수의 관계 쓰기

합과 곱이 계수로 표현됩니다.

r+s = -b/a, rs = c/a
2STEP 2

계수 두 개가 같아야 한다

집합 크기를 맞추려면 둘이 같아야 합니다.

|{a,b,c}| = |{r,s}| ≤ 2
3STEP 3

중근인 경우 지우기

중근이면 판별식이 음수가 됩니다.

x²+x+1=0, Δ = 1-4 = -3 ＜ 0
4STEP 4

첫 경우 세우기

첫 경우의 방정식을 세웁니다.

a+c = -1, c(a²-1) = 0
5STEP 5

첫 경우 풀기

이차식 두 개가 나옵니다.

-x²-x (근 0, -1), x²+x-2 (근 -2, 1)
6STEP 6

둘째 경우 세우기

정리하면 삼차식이 됩니다.

ab = 1, a + 1/a = -1/a² → a³+a+1 = 0
7STEP 7

삼차식의 실근 세기

단조증가라 실근이 하나입니다.

f(a) = a³+a+1 순증가, f(-1) ＜ 0 ＜ f(0)
8STEP 8

셋째 경우 세우기

셋째 경우의 방정식을 세웁니다.

ab = b/a → b(a - 1/a) = 0
9STEP 9

셋째 경우 풀기

이차식 하나가 더 나옵니다.

x² - 1/2x - 1/2 = 1/2(2x+1)(x-1) (근 1, -1/2)
10STEP 10

경우별 개수 더하기

모두 더하면 4입니다.

2+1+1 = 4
정답
4
네 이차식을 하나씩 원래 조건에 대입해 확인한다. (1) -x²-x: 계수 {-1,-1,0} = {-1,0}, 인수분해 -x(x+1)의 근 {0,-1} — 일치. (2) x²+x-2: 계수 {1,1,-2} = {1,-2}, 인수분해 (x+2)(x-1)의 근 {-2,1} — 일치. (3) x² - 1/2x - 1/2: 계수 {1,-1/2,-1/2} = {1,-1/2}, 양변에 2를 곱하면 2x²-x-1 = (2x+1)(x-1)의 근 {-1/2,1} — 일치. (4) α³+α+1 = 0 인 α 에 대한 α x² + 1/αx + α: α ≈ -0.682, 1/α ≈ -1.466이고 근의 합은 -b/a = -1/α² ≈ -2.148, 실제로 α + 1/α ≈ -2.148 — 일치. 근의 곱은 c/a = 1, 실제로 α · 1/α = 1 — 일치. 네 개 모두 살아남고 다섯 번째는 나올 수 없다. 각 경우가 일차방정식이나 실근이 하나뿐인 삼차식으로 끝나 자유 매개변수가 남지 않으므로 (E) 무수히 많음은 불가능하고 개수는 정확히 4.
💡핵심 정리

계수 세 개가 근의 자리 두 개를 채워야 하니 둘은 반드시 같아진다 — 같아지는 방식 세 가지를 나눠 작은 연립을 풀면 살아남는 이차식은 네 개뿐이다.

  • 근을 비에트 방정식으로 옮기기
  • 계수 두 개는 반드시 같다
  • 중근인 경우 지우기
  • 경우 a=b: 방정식 세우기
  • 경우 a=b: 이차식 두 개
  • 경우 a=c: 삼차식으로 줄이기
  • 삼차식의 실근은 하나
  • 경우 b=c: 방정식 세우기
  • 경우 b=c: 이차식 한 개
  • 경우별 개수 더하기

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