AMC 10 · 2019 · #25

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

centroid-2-to-1dilationequilateral-trianglelaw-of-cosinessine-area-formulaoptimization extreme-principleidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: centroid-2-to-1law-of-cosines

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

볼록사각형의 두 변의 길이가 각각 2와 6으로 고정돼 있습니다. 네 꼭짓점 중 세 개씩 골라 만든 세 삼각형의 무게중심이 정삼각형의 꼭짓점을 이룹니다. 이 조건을 만족하는 사각형 중에서 넓이가 가장 클 때 그 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$16\sqrt3$

(C)

$12+10\sqrt3$

(D)

$9+12\sqrt3$

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

여러 도형이 이루는 한 무리 전체에서 최댓값을 묻고 있으므로 도구 #14 (극단의 원리)가 도착점이다: 넓이를 변수 하나짜리 식 하나로 줄인 뒤 그 변수를 가장 좋은 값까지 밀고, 그 값이 실제로 가능한지 확인한다. 거기까지 가려면 다른 도구가 먼저 필요하다. 도구 #1 (그림 그리기)로 이름 붙은 세 삼각형이 모두 꼭짓점 C 를 품고 있다는 사실을 드러내면 세 무게중심을 C 에서부터 잴 수 있다. 도구 #15 (다르게 정리하기)로 그 세 무게중심을 △ ABD 의 중점삼각형을 축소한 복사본으로 다시 읽으면, 낯선 정삼각형 조건이 "△ ABD 가 정삼각형이다" 라는 깔끔한 문장으로 바뀐다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 ABCD 를 대각선 BD 를 따라 두 삼각형으로 자르면 각각의 넓이를 따로 다룰 수 있다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 남은 자유도 하나, 즉 C 에서의 각에 이름을 붙인다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)으로 두 넓이를 그 각의 함수로 바꾸고 합을 사인파 하나로 접으면 최댓값이 그대로 읽힌다.

1STEP 1

공유하는 꼭짓점 찾기

세 삼각형이 모두 한 점을 품습니다.

CG₁ = 2/3 CX, CG₂ = 2/3 CY, CG₃ = 2/3 CZ

2STEP 2

그 점에서 확대하기

확대하면 정삼각형 조건이 원래 도형으로 옮겨집니다.

△ G₁G₂G₃ → { C 중심, 비율 3/2 확대 } △ XYZ = △ ABD 의 중점삼각형 ⟹ AB = BD = DA = k

3STEP 3

대각선으로 자르기

사각형을 두 삼각형으로 나눕니다.

[ABCD] = [ABD] + [BCD], [ABD] = √(3)/4k²

4STEP 4

각에 이름 붙이기

고정된 두 변 사이 각에 이름을 붙입니다.

k² = 2² + 6² - 2 · 2 · 6cosθ = 40 - 24cosθ ⟹ [ABD] = √(3)/4(40 - 24cosθ) = 10√(3) - 6√(3)cosθ

5STEP 5

두 번째 삼각형 더하기

넓이가 그 각의 함수로 표현됩니다.

[BCD] = 1/2 · 2 · 6sinθ = 6sinθ ⟹ [ABCD] = 10√(3) + 6sinθ - 6√(3)cosθ

6STEP 6

사인파 하나로 접기

두 항을 사인파 하나로 합칩니다.

6sinθ - 6√(3)cosθ = 12(1/2sinθ - √(3)/2cosθ) = 12(sinθcos 60° - cosθsin 60°) = 12sin(θ - 60°)

7STEP 7

최댓값 찾기

최댓값은 12 더하기 10루트3입니다.

[ABCD] = 10√(3) + 12sin(θ - 60°) ≤ 10√(3) + 12, θ = 150° 에서 등호 → 12 + 10√(3)

정답

12+10√3

다섯 선택지는 수치로 가깝게 붙어 있다 — 27, 16√3 ≈ 27.71, 12+10√3 ≈ 29.32, 9+12√3 ≈ 29.78, 30 — 그래서 어림으로는 구분할 수 없고 진폭이 정확해야 한다. 실제로 정확하다: √(6² + (6√3)²) = 12로 딱 떨어지므로 10√3 + 12를 넘는 값은 모두 배제되고 더 큰 두 선택지가 죽는다. 최댓값을 주는 도형을 직접 만들어 보면 확인된다. θ = 150° 로 두고 B = (0,0), D ≈ (7.796, 0)이라 하면 C ≈ (1.846, -0.770)이 BC = 2, CD = 6을 만족하고, A ≈ (3.898, 6.752)가 반대쪽에서 정삼각형을 완성한다. A → B → C → D 로 걸어가면 네 모퉁이에서 모두 같은 방향으로 꺾이므로 볼록하고, 신발끈 공식으로 넓이는 ≈ 29.3205가 되어 12 + 10√3 ≈ 29.3205와 일치한다. 무게중심 조건도 상식 검사를 통과한다: 그 조건은 C 의 위치를 전혀 언급하지 않는데, 실제로 결론 AB = BD = DA 역시 C 에 대해 아무 말도 하지 않는다 — 길이 2와 6을 유지한 채 C 가 자유롭게 흔들릴 수 있다는 사실과 맞아떨어진다.

💡핵심 정리

정삼각형을 이루는 무게중심 삼각형은 사실 축소된 중점삼각형이라 ABD 가 정삼각형이라는 뜻이고, 그 뒤로는 넓이 전체가 C 의 각에 대한 사인파 하나여서 그 봉우리가 12 + 10√(3)이다.

세 삼각형이 모두 C 를 품는다
C 를 중심으로 3/2 배 확대하기
대각선 BD 를 따라 자르기
C 에서의 각에 이름 붙이기
두 번째 삼각형 더하기
사인파 하나로 접기
각을 극단까지 밀기