AMC 10 · 2020 · #12

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometryslope-interceptrotation-isometryperpendicular-slopesvector-addition identify-subproblemsphysical-representationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

좌표평면의 어떤 직선을 점 (20,20)에 핀을 꽂고 반시계 방향으로 45도 돌립니다. 돌린 직선이 x축과 만나는 점의 x좌표를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #7(쪼개기): 먼저 핀 (20, 20)이 l 위에 있는지 확인. 위에 있다면 회전한 직선도 그 점을 지나므로 문제는 "새 기울기는 얼마인가" 하나로 줄어듦. 도구 #4(변수): 기울기를 방향 화살표 u = (5, 3)로 바꿈 — 회전이 실제로 작용하는 대상이 화살표이기 때문. 도구 #17(공간): 화살표의 90^° 회전은 정확하고 쉬움 — 좌표를 맞바꾸고 한쪽 부호만 뒤집기. 도구 #1(그림): 45^°는 90^°의 절반이고, 각을 절반으로 나누는 그림이 바로 마름모 — 두 등변의 합이 대각선. 도구 #13(대수): 새 방향을 기울기로 바꾸고 점-기울기 꼴로 k 를 씀. 도구 #3(가능성 지우기): y = 0을 대입한 결과를 다섯 선택지와 대조.

1STEP 1

핀의 위치 확인

핀이 원래 직선 위에 있습니다.

3(20) - 5(20) + 40 = 60 - 100 + 40 = 0

2STEP 2

기울기 하나로 줄이기

그러면 기울기만 구하면 됩니다.

(20, 20) ∈ l → (20, 20) ∈ k

3STEP 3

방향에 이름 붙이기

직선의 방향을 화살표로 씁니다.

3x - 5y + 40 = 0 → y = 3/5x + 8, u = (5, 3)

4STEP 4

90도 돌리기

90도 회전은 좌표를 바꾸면 됩니다.

(x, y) ↦ (-y, x), u = (5, 3) ↦ u^ ⊥ = (-3, 5)

5STEP 5

마름모로 각 반 나누기

길이가 같은 두 화살표를 더하면 각이 반이 됩니다.

|u| = |u^ ⊥ | = √(34) → u + u^ ⊥ = (5, 3) + (-3, 5) = (2, 8)

6STEP 6

새 직선 쓰기

새 기울기로 직선을 씁니다.

m_k = 8/2 = 4, y - 20 = 4(x - 20) → y = 4x - 60

7STEP 7

x축과 만나는 점

y를 0으로 두면 15입니다.

0 = 4x - 60 → 4x = 60 → x = 15 → (B)

정답

서로 독립적인 두 가지 확인이 일치함. 첫째, 각도: 직선 l 의 기울기 3/5는 약 31^°의 기울기각이고, 반시계로 45^°를 더하면 약 76^° 이며 tan 76^° ≈ 4.0 — 구한 기울기와 정확히 일치하고, 완만한 양의 기울기에서 반시계로 돌렸으니 더 가팔라진 것도 맞음. 둘째, 위치: k 는 축에서 20 만큼 높은 점 (20, 20)을 지나고 기울기가 4 이므로, 축까지 내려오려면 왼쪽으로 20/4 = 5 만큼 가야 하고 20 - 5 = 15에 도착. 교점이 반드시 x = 20의 왼쪽이라는 사실만으로도 계산 전에 (C), (D), (E)는 지워짐.

💡핵심 정리

핀이 직선 위에 있으면 회전해도 바뀌는 건 기울기뿐입니다. 45^°는 90^°의 절반이니, 방향 화살표 (5, 3)을 (-3, 5)로 돌린 뒤 둘을 더하면 마름모의 대각선 (2, 8)이 정확히 중간에 놓여 기울기 4가 나옵니다.

핀이 어디에 있는지 확인하기
문제를 기울기 하나로 줄이기
직선 l 의 방향에 이름 붙이기
화살표를 먼저 90^° 돌리기
마름모로 90^°를 반으로 나누기
새 기울기를 읽고 k 쓰기
y = 0을 넣고 선택지 대조하기