AMC 10 · 2020 · #15

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

complex-numbersdifference-of-cubespolynomial-factoringquadratic-equationscoordinate-geometry identify-subproblemsphysical-representationextreme-principle ↑ 선수 지식: complex-numberspolynomial-factoring

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

복소평면에서 한 집합은 어떤 삼차방정식의 해들이고, 다른 집합은 또 다른 삼차방정식의 해들입니다. 각 해를 평면 위의 점으로 보고, 첫 집합의 점에서 둘째 집합의 점까지의 거리 중 가장 큰 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{3}$

(B)

(C)

(D)

$2\sqrt{21}$

(E)

$9+\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): 두 방정식은 서로 아무 관련이 없으므로 하나씩 따로 풀고 마지막에만 비교. 도구 #13(대수로 바꾸기): 두 삼차식 모두 인수분해됨 — 하나는 세제곱의 차, 다른 하나는 묶어서 — 그래서 해 찾기가 인수 두 개 보기로 바뀜. 도구 #1(그림 그리기): 여섯 점을 평면에 찍으면 가장 긴 연결선이 거의 눈에 보여서, 아홉 개 거리를 다 계산하는 것보다 훨씬 빠름. 도구 #14(극단의 원리)와 도구 #3(가능성 지우기): A 는 전부 반지름 2 인 원 위에 있으므로 삼각부등식이 오른쪽 끝 점 8을 쓰지 않는 쌍을 모두 지워 주고, 계산은 한 번만 남음.

1STEP 1

두 해 찾기 문제로 쪼개기

두 방정식을 따로 풉니다.

|A| = 3, |B| = 3, 쌍의 개수 ≤ 9

2STEP 2

첫 삼차식 인수분해

세제곱의 차 공식이 바로 통합니다.

z³ - 8 = (z - 2)(z² + 2z + 4)

3STEP 3

근의 공식으로 마무리

남은 이차식을 풉니다.

A = { 2, -1 + i√(3), -1 - i√(3) }

4STEP 4

둘째 삼차식은 묶어서

항을 묶으면 인수분해됩니다.

z³ - 8z² - 8z + 64 = (z-8)(z²-8), B = { 8, 2√(2), -2√(2) }

5STEP 5

여섯 점 찍기

여섯 점을 평면에 찍습니다.

A: (2,0), (-1,√(3)), (-1,-√(3)); B: (8,0), (2√(2),0), (-2√(2),0)

6STEP 6

후보 줄이기

가장 먼 점만 후보가 됩니다.

|a - b| ≤ 2 + |b| → b = ± 2√(2)이면 ≤ 2 + 2√(2) ＜ 6

7STEP 7

이긴 거리 재기

재면 2루트21입니다.

√((8-(-1))² + (0-√(3))²) = √(81+3) = √(84) = 2√(21) = (D)

정답

2√(21)

어림값이 맞아떨어집니다. 2√(21) = √(84) ≈ 9.17 인데, 두 점은 가로로 9 떨어져 있고 세로 차이는 √(3) ≈ 1.73 뿐이라 9를 조금 넘는 값이 그림과 정확히 일치합니다. 오답 선택지들도 함정으로 이해됩니다. (B) 6은 2 에서 8 까지의 거리 — 실수가 아닌 해를 잊었을 때 나오는 답. (C) 9는 가로 차이만 센 값 — 허수부를 버렸을 때 나오는 답. (E) 9 + √(3)은 피타고라스 대신 두 변을 그냥 더한 값이고, 빗변은 언제나 두 변의 합보다 짧으니 반드시 너무 큽니다. 상한으로도 확인됩니다: A 의 모든 점은 절댓값이 2이고 B 에서 가장 먼 점은 8 이므로 어떤 거리도 2 + 8 = 10을 넘을 수 없는데, 9.17 ＜ 10.

💡핵심 정리

두 방정식 모두 인수분해되므로 극형식은 필요 없습니다. z³ - 8 = (z-2)(z²+2z+4) 에서 A = {2, -1 ± i√(3)}, 묶어서 인수분해하면 z³-8z²-8z+64 = (z-8)(z²-8)이라 B = {8, ± 2√(2)}. 여섯 점을 찍어 보면 A 는 반지름 2 인 원 위의 작은 삼각형이고, B 는 실수축 위에 있으며 8이 오른쪽으로 멀찍이 떨어져 있습니다. 가장 먼 연결선은 (-1, √(3)) 에서 (8, 0)까지, 두 변이 9와 √(3) 인 직각삼각형이므로 거리는 √(84) = 2√(21). 답은 (D).

두 개의 해 찾기 문제로 쪼개기
z³ - 8 인수분해하기
근의 공식으로 집합 A 마무리
두 번째 삼차식은 묶어서 인수분해
여섯 점 찍기
아홉 쌍을 두 쌍으로 줄이기
이긴 쌍의 거리 재기