AMC 10 · 2020 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetrymodular-arithmeticcombinations-basic caseworksystematic-enumerationphysical-representation ↑ 선수 지식: rotation-isometryreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

원점을 중심으로 한 회전 세 가지와 두 축에 대한 대칭 두 가지, 모두 다섯 가지 강체운동이 있습니다. 여기서 중복을 허용해 순서 있는 세 개를 고릅니다. 그렇게 고른 것을 차례로 적용했을 때 어떤 삼각형이 원래 자리로 돌아오는 경우가 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 삼각형이 대칭 없는 부등변이라 방향성으로 깔끔히 분기 — 대칭 개수 짝수 조건이 경우 1(0 대칭, 3 회전), 경우 2(2 대칭, 1 회전)로 나눠줌. 도구 #10(직접 만져보기): 종이 삼각형을 잘라 라벨링 후 손으로 합성 검증. 도구 #2(빠짐없이 나열): 회전 합이 360° 의 배수인 삼중쌍을 모두 나열. 도구 #5(패턴): 두 좌표축 대칭의 합성은 R₁₈₀ — 경우 2가 {S_x, S_y, R₁₈₀} 한 집합으로 축소됨.

1STEP 1

대칭은 짝수 번

방향 때문에 대칭은 짝수 번이어야 합니다.

#대칭 ∈ {0, 2}

2STEP 2

회전만 쓰는 경우

각의 합이 한 바퀴의 배수여야 합니다.

n₁ + n₂ + n₃ ≡ 0 (mod 4), n_i ∈ {1, 2, 3}

3STEP 3

회전만 쓰는 경우 세기

조건에 맞는 조합을 셉니다.

|경우 1| = 3 + 3 = 6

4STEP 4

대칭 두 개를 쓰는 경우

두 대칭의 곱이 반 바퀴가 됩니다.

S_y ° S_x = R₁₈₀; R ° R₁₈₀ = I → R = R₁₈₀

5STEP 5

그 경우 세기

남은 회전이 하나로 정해집니다.

|경우 2| = 3! = 6

6STEP 6

두 경우 더하기

더하면 12입니다.

총합 = 6 + 6 = 12 → (A)

정답

감각 점검. 125 중 12는 약 10% — 빡빡한 항등 조건에 어울리는 비율. 검증: (R₉₀, R₉₀, R₁₈₀) (경우 1): 총 반시계 회전 = 90 + 90 + 180 = 360°, 항등 ✓. (S_x, R₁₈₀, S_y) (경우 2): (x,y) → (x,-y) → (-x,y) → (x,y), 항등 ✓. 반례 (R₉₀, S_x, S_x): (x,y) → (-y,x) → (-y,-x) → (-y,x) — 항등 아님 ✓ ("같은 대칭 두 번 + 회전" 은 실패한다는 추론과 일치). 함정 선택지 (E) 25 = 5²은 "두 대칭이 정해진 뒤 회전은 자유" 라고 잘못 세는 경우 — 명백한 과다 계산.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 8학년 회전과 대칭의 성질만 있으면 풀려요 — 대칭 개수는 짝수 (0 또는 2); 세 회전의 합이 360° 또는 720° 인 경우 6 가지; 서로 다른 두 좌표축 대칭과 R₁₈₀의 조합 6 가지; 6+6=12.