AMC 10 · 2020 · #22

학년 11 algebra

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 복소수의 거듭제곱을 실수부와 허수부로 나누면 두 수열이 한꺼번에 정의됩니다. 각 항에서 실수부와 허수부를 곱한 뒤 7의 거듭제곱으로 나누고, 0 이상의 모든 항에 대해 더합니다. 그 무한합의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 38$

(B)

$\frac7{16}$

(C)

$\frac12$

(D)

$\frac9{16}$

(E)

$\frac47$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15(다르게 정리하기)가 문제의 전부. a_n 과 b_n 을 따로 쫓아가는 건 승산이 없음 — 둘은 얽힌 점화식을 만족하고 어느 쪽도 깔끔한 닫힌 형태가 없음. 하지만 곱 a_n b_n 은 (a_n + b_n i)²의 허수부의 정확히 절반. (a+bi)² = (a² - b²) + 2ab i 이기 때문. 이 재포장 하나로 두 미지 수열의 곱이 하나의 복소수 거듭제곱의 허수부로 바뀜. 도구 #4(변수 도입하기): z = (2+i)² = 3+4i 로 이름 붙여 지수를 접기. 도구 #5(패턴 찾기): 일반항이 (z/7)ⁿ 이 되면 급수는 명백히 등비급수. 도구 #6(추측하고 확인하기): 처음 몇 항을 수치로 더해 닫힌 형태가 맞는 선택지로 가는지 확인.

1STEP 1

곱을 허수부로 재포장

곱이 제곱의 허수부가 됩니다.

(a_n + b_n i)² = (a_n² - b_n²) + 2 a_n b_n i ⟹ a_n b_n = 1/2Im((2+i)²ⁿ)

2STEP 2

짝수 거듭제곱 접기

제곱을 새 밑으로 삼습니다.

z = (2+i)² = 3+4i, a_n b_n = 1/2Im(zⁿ)

3STEP 3

합을 안으로 넣기

합을 허수부 안으로 넣습니다.

Σ_n=0^∞(a_n b_n)/7ⁿ = 1/2Σ_n=0^∞Im(rⁿ) = 1/2Im(Σ_n=0^∞ rⁿ), r = (3+4i)/7

4STEP 4

등비급수 계산

크기가 1보다 작아 수렴합니다.

|r| = 5/7 ＜ 1, Σ_n=0^∞ rⁿ = 1/(1-r) = 7/(4-4i)

5STEP 5

켤레로 나누기

켤레복소수로 분모를 실수화합니다.

7/(4-4i) = (7(4+4i))/(4-4i)(4+4i) = (28+28i)/32 = 7/8 + 7/8i

6STEP 6

허수부 읽고 절반 취하기

절반을 취하면 16분의 7입니다.

Σ_n=0^∞(a_n b_n)/7ⁿ = 1/2·7/8 = 7/16 → (B)

정답

7/16

부분합 수치 점검. (2+i)⁰ = 1, (2+i)¹ = 2+i, (2+i)² = 3+4i, (2+i)³ = 2+11i, (2+i)⁴ = -7+24i, (2+i)⁵ = -38+41i, (2+i)⁶ = -117+44i 로부터 각 항 (a_n b_n)/7ⁿ은 0, 2/7 ≈ 0.286, 12/49 ≈ 0.245, 22/343 ≈ 0.064, -168/2401 ≈ -0.070, ≈ -0.093, ≈ -0.044. 부분합은 0, 0.286, 0.531, 0.595, 0.525, 0.432, 0.388로 진동하며 0.4375 = 7/16로 좁혀 들어감 — (B)와 일치하고 (A) 0.375, (C) 0.5, (D) 0.5625, (E) ≈ 0.571을 배제. 진동은 예상된 현상: 3+4i 의 편각이 0 에서 충분히 떨어져 있어 Im(zⁿ)의 부호가 바뀌고, 진폭은 수렴 판정대로 (5/7)ⁿ 처럼 줄어듦. 구조적 점검: 처음의 양수 항들이 뒤의 음수 항들로 일부 상쇄되므로 값이 양수이면서 1/2 보다 작다는 것도 자연스러움.

💡핵심 정리

미지의 두 수열이 곱으로만 나타나면, 그것들을 만들어낸 식을 제곱해 보기 — (a+bi)² = (a²-b²) + 2abi 가 곱 ab 를 허수부에 놓아주고, 이 문제에서는 그것만으로 전체 합이 공비 (3+4i)/7 인 등비급수 하나가 됨.

곱을 하나의 허수부로 재포장
짝수 거듭제곱 접기
합을 Im 안으로 넣기
등비급수 계산
켤레복소수로 나누기
허수부를 읽고 절반 취하기