AMC 10 · 2020 · #24

학년 8 geometry-2d

equilateral-trianglerotation-isometrypythagorean-theoremthirty-sixty-ninety-trianglespatial-visualization physical-representationidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: equilateral-trianglepythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정삼각형 안에 정확히 한 점이 있어 세 꼭짓점까지의 거리가 각각 1, 루트3, 2입니다. 정삼각형의 한 변의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1+\sqrt{2}$

(B)

$\sqrt{7}$

(C)

$\frac{8}{3}$

(D)

$\sqrt{5+\sqrt{5}}$

(E)

$2\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

세 개의 주어진 길이는 점 P에서 바큇살처럼 뻗어 나가므로, 삼각부등식이나 피타고라스 정리를 그대로 적용할 수 없다. 열쇠는 도구 #17(공간 상상하기)이다. 정삼각형은 한 꼭짓점을 중심으로 한 60° 회전을 허용하는데, 이 강체 이동이 바큇살 하나를 다른 바큇살 위로 옮겨 1, √(3), 2가 한 삼각형의 세 변이 되게 만든다. 도구 #1(그림 그리기)로 회전된 점 P'의 위치를 추적하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 마무리를 두 개의 작은 직각삼각형 계산으로 나눈다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 P가 내부에 있다는 조건을 써서 두 번째 대수적 해를 버린다.

1STEP 1

한 꼭짓점에서 회전하기

60도 돌리면 거리가 옮겨집니다.

AP' = AP = 1, CP' = BP = √(3)

2STEP 2

작은 정삼각형 찾기

돌린 점과 원래 점이 정삼각형을 만듭니다.

AP = AP' = 1, ∠ PAP' = 60° ⟹ PP' = 1, ∠ AP'P = 60°

3STEP 3

직각삼각형 찾기

세 거리가 직각삼각형을 이룹니다.

PP'² + P'C² = 1² + (√(3))² = 4 = PC² ⟹ ∠ PP'C = 90°

4STEP 4

두 각 더하기

두 각을 더해 큰 각을 얻습니다.

∠ AP'C = ∠ AP'P + ∠ PP'C = 60° + 90° = 150°

5STEP 5

수선 하나로 마무리

수선을 내려 변의 제곱을 구합니다.

AC² = AH² + CH² = (1/2)² + (3√(3)/2)² = 1/4 + 27/4 = 28/4 = 7

6STEP 6

안 되는 근 지우기

큰 근만 남아 답은 루트7입니다.

s² ∈ {1, 7}, s ＞ 2 ⟹ s = √(7) ⟹ (B)

정답

√(7)

s = √(7)을 원래 그림에 되돌려 넣고 P에서의 세 각을 재 보자. 세 각은 한 바퀴를 이뤄야 한다. AB² = 7인 △ APB에 코사인법칙을 쓰면 cos ∠ APB = (1 + 3 - 7)/(2 · 1 · √(3)) = -√(3)/2이므로 ∠ APB = 150°이다. △ BPC에서는 cos ∠ BPC = (3 + 4 - 7)/(2 · √(3) · 2) = 0이므로 ∠ BPC = 90°이다. △ CPA에서는 cos ∠ CPA = (4 + 1 - 7)/(2 · 2 · 1) = -1/2이므로 ∠ CPA = 120°이다. 합은 150° + 90° + 120° = 360°로 정확히 맞는데, 이것이 바로 P가 삼각형 내부에 있을 조건이므로 강력한 확인이 된다. 좌표로도 일치한다. A = (0,0), B = (√(7), 0), C = (√(7)/2, √(21)/2)로 두면 점 P = (5/2√(7), √(3)/2√(7))이 AP = 1, BP = √(3), CP = 2를 만족하며 내부에 있다. 다만 s ＞ 2라는 대략적인 크기 검사만으로는 답을 고를 수 없다. (A) 1+√(2) ≈ 2.414, (C) 8/3 ≈ 2.667, (D) √(5+√(5)) ≈ 2.690, (E) 2√(2) ≈ 2.828가 모두 2를 넘기 때문이다. √(7)을 확정해 주는 것은 정확한 각의 합이다.

💡핵심 정리

그림 전체를 한 꼭짓점 중심으로 60° 회전하면 1, √(3), 2라는 세 바큇살이 한 삼각형으로 모이고, 1² + (√(3))² = 2²이므로 그 삼각형은 직각삼각형이다. 그다음 수선 하나면 s² = 1/4 + 27/4 = 7, 즉 s = √(7)이 나오며, 중학교 3학년 수준을 넘는 도구는 하나도 쓰지 않는다.

A를 중심으로 회전하기
△ APP'는 정삼각형
△ PP'C는 직각삼각형
P'에서 두 각을 더하기
수선 하나로 마무리
두 번째 해 지우기