AMC 10 · 2020 · #10

학년 10 geometry-2d

coordinate-geometryinscribed-anglesimilar-trianglespythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsimilar-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 변이 1인 정사각형이 있습니다. 이 정사각형에 내접해 네 변에 모두 닿는 원이 한 변과 만나는 점을 잡습니다. 마주 보는 꼭짓점에서 그 점까지 그은 선분이 원과 다시 한 번 만납니다. 꼭짓점에서 그 두 번째 교점까지의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt5}{12}$

(B)

$\frac{\sqrt5}{10}$

(C)

$\frac{\sqrt5}{9}$

(D)

$\frac{\sqrt5}{8}$

(E)

$\frac{2\sqrt5}{15}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

"원과 다시 만난다"는 표현만으로는 붙잡을 길이가 없으므로, 먼저 그림을 확정해야 한다. 좌표를 잡으면 중심과 반지름, 접점 M이 정확히 정해진다. 두 번째 할 일은 보조점 하나를 찍는 것이다. M을 지나는 지름의 반대쪽 끝을 그려 넣으면 P에서의 각이 직각이 되고, 직각이 생기면 애매하던 두 번째 교점이 수선의 발로 바뀌어 닮은 직각삼각형 하나의 비례식으로 길이가 나온다. 이 보조점 하나만 있으면 삼각비도, 원의 방정식도 필요 없다.

1STEP 1

좌표에 올리기

정사각형과 원을 좌표로 씁니다.

A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(0,1), O=(1/2,1/2), r=1/2, M=(1/2,1)

2STEP 2

선분 전체 재기

선분 전체 길이를 먼저 잽니다.

AM=√((1/2)²+1²)=√(5/4)=√(5)/2

3STEP 3

지름의 반대쪽 끝 그리기

지름 위의 각이 직각이 됩니다.

N=(1/2,0), MN is a diameter → ∠ MPN = 90^° → NP ⊥ AM

4STEP 4

닮은 삼각형 찾기

두 직각삼각형이 닮습니다.

△ APN ∼ △ ANM → AP/AN=AN/AM → AP=AN²/AM

5STEP 5

수를 넣고 정리하기

비례식을 풀면 10분의 루트5입니다.

AP=AN²/AM=1/4/√(5)/2=1/2√(5)=√(5)/10

정답

√5/10

수치로 √(5)/10은 약 0.224이다. A에서 M 쪽 반직선을 따라 걸어갈 때 원과 처음 만나는 점은 AO-r=√(2)/2-1/2, 약 0.207보다 가까울 수 없으므로 AP는 0.207보다 조금 커야 한다. 0.224는 이에 들어맞고, 약 0.186인 선택지 (A)는 P를 원이 없는 빈 구간에 놓게 되므로 불가능하다. 남는 현은 PM=AM-AP≈ 1.118-0.224=0.894로 지름 1보다 작아, 모든 현이 그러하듯 타당하다. 점 A의 방멱으로 따로 확인해도 값이 정확히 일치한다. AP · AM=AO²-r²=1/2-1/4=1/4이므로 AP=1/4÷√(5)/2=√(5)/10이다.

💡핵심 정리

직선이 원과 만나는 두 번째 점이 이름 없이 주어졌다면, 이미 아는 점에서 지름을 그어라. 지름 위에 선 각은 직각이라 그 미지의 점이 수선의 발이 되고, 닮은 삼각형으로 길이를 잴 수 있다.

정사각형을 좌표에 올리기
선분 AM 전체의 길이 재기
지름의 반대쪽 끝 그려 넣기
닮은 직각삼각형 두 개 찾기
수를 넣고 근호 정리하기

좌표에 올리기

선분 전체 재기

지름의 반대쪽 끝 그리기

닮은 삼각형 찾기

수를 넣고 정리하기

비슷한 유형 더 풀어보기