AMC 10 · 2020 · #12

학년 9 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremisosceles-right-trianglesymmetry-argument identify-subproblemsconvert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremchord-perpendicular-from-center
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
반지름이 5루트2인 원에 지름이 하나 있습니다. 어떤 현이 그 지름과 한 점에서 만나는데, 그 점에서 지름의 한 끝까지의 거리가 2루트5이고 현과 지름이 이루는 각은 45도입니다. 그 점이 현을 나눈 두 조각의 제곱의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
96
(B)
98
(C)
$44\sqrt5$
(D)
$70\sqrt2$
(E)
100
풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): 그림에 더할 가치가 있는 선은 중심에서 현으로 내린 수선 OM 하나뿐입니다. 이 선이 현을 이등분하면서 직각삼각형 두 개를 만들어 줍니다. 도구 #4(변수 도입하기): 5√(2) - 2√(5) 같은 지저분한 길이를 쫓는 대신 현의 절반 x = CM 과 어긋난 거리 y = ME 에 이름을 붙이면 CE 와 DE 는 그냥 x - y 와 x + y 가 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 두 직각삼각형이 모든 일을 합니다. △ OME 는 45° 를 OM = ME 로 바꾸고, △ OMC 는 반지름을 x² + y² = 50으로 바꿉니다. 도구 #3(가능성 지우기): 제곱의 합이 깔끔한 수 하나로 접히고 그 값과 일치하는 선택지는 하나뿐입니다. 근호가 붙은 세 선택지는 쓰이지 않는 길이 BE 로 만든 미끼입니다.

1STEP 1

현에 수선 내리기

수선이 현을 반으로 자릅니다.

OM ⊥ CD → CM = MD
2STEP 2

두 길이에 이름 붙이기

목표가 두 제곱의 합으로 정리됩니다.

CE² + DE² = (x-y)² + (x+y)² = 2x² + 2y²
3STEP 3

45도가 만드는 등식

45도가 두 길이를 같게 만듭니다.

∠ OME = 90°, ∠ OEM = 45° → ∠ MOE = 45° → OM = ME = y
4STEP 4

반지름 삼각형에 피타고라스

반지름이 두 제곱의 합을 고정합니다.

x² + y² = OC² = (5√(2))² = 50
5STEP 5

합쳐서 마무리

두 배 하면 100입니다.

CE² + DE² = 2(x² + y²) = 2 · 50 = 100 → (E)
정답
100
실제 수로 확인해 봅시다. OE = OB - BE = 5√(2) - 2√(5) ≈ 2.599 이므로 y = OM = ME = OE · sin 45° ≈ 1.838이고 x = √(50 - y²) ≈ 6.828입니다. 따라서 CE ≈ 4.99, DE ≈ 8.67이고 CE² + DE² ≈ 24.9 + 75.1 = 100입니다. 독립적인 두 번째 확인: 방멱 정리에 의해 CE · DE = AE · EB = (10√(2) - 2√(5))(2√(5)) = 20√(10) - 20 ≈ 43.2 인데 4.99 × 8.67 ≈ 43.3로 일치합니다. 또 현 전체 CE + DE ≈ 13.66은 지름 10√(2) ≈ 14.14 보다 작아서 현이 지켜야 할 조건을 만족합니다. 마지막으로 일반화하면 문제의 설계가 보입니다. 현이 지름과 각 θ 로 만날 때 같은 계산은 CE² + DE² = 2r² + 2 · OE² cos 2θ 를 주는데, θ = 45° 이면 둘째 항이 사라집니다. 45° 는 핵심이고 BE = 2√(5)는 의도된 미끼입니다. 선택지 셋이 √(5)와 √(2)로 치장된 이유가 이것입니다.
💡핵심 정리

중심에서 현으로 수선을 내리면 현이 반으로 갈라지고, 45° 교차 덕분에 중심에서 현까지의 거리가 교점과 중점 사이의 거리와 같아집니다. 그러면 CE² + DE² = 2x² + 2y² = 2r² = 100이 되고 주어진 BE = 2√(5)는 끝까지 쓰이지 않습니다. 45° 로 만나는 현은 언제나 반지름 제곱의 두 배를 줍니다.

  • 현에 수선을 내리기
  • 반현과 어긋난 거리에 이름 붙이기
  • 45도가 OM = ME 를 강제한다
  • 반지름 삼각형에 피타고라스 쓰기
  • 합쳐서 선택지와 맞추기

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