AMC 10 · 2020 · #15

학년 4 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

systematic-enumerationcombinations-basicsymmetry-argument caseworkidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationcombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

열 사람이 원 둘레에 고르게 서 있습니다. 각자 정확히 세 사람을 아는데 양옆 두 사람과 원 건너 마주 보는 한 사람입니다. 열 명을 다섯 쌍으로 나누되 각 쌍이 서로 아는 사이가 되게 하는 방법이 몇 가지인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 10 각형과 5 개의 지름을 그리면 가능한 쌍 종류 (이웃 변 또는 지름)가 한눈에 보입니다. 도구 #7 (쪼개기): 사용한 지름의 수 k 로 경우를 나눕니다 (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5). 각 경우에서 지름에 안 들어간 사람들은 이웃끼리만 짝지어져야 함. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 순서대로 빠짐없이 나열하면 중복·누락 없음.

1STEP 1

경우 나누기

마주 보는 쌍의 개수로 나눕니다.

k = 0, 1, 2, 3, 4, 5로 분류

2STEP 2

모두 마주 보는 경우

이 배치는 정확히 하나입니다.

#{k = 5} = 1

3STEP 3

네 개인 경우

남는 두 사람이 이웃이 아닙니다.

#{k = 4} = 0

4STEP 4

세 개인 경우

남은 넷이 이웃끼리 짝지어집니다.

#{k = 3} = 5

5STEP 5

두 개인 경우

이 경우도 불가능합니다.

#{k = 2} = 0

6STEP 6

하나인 경우

두 호가 각각 이웃끼리 채워집니다.

#{k = 1} = 5 · 1 · 1 = 5

7STEP 7

하나도 없는 경우

원 둘레를 번갈아 채우는 두 방법입니다.

#{k = 0} = 2

8STEP 8

모두 더하기

모두 더하면 13입니다.

1 + 0 + 5 + 0 + 5 + 2 = 13 → (C)

정답

답 13은 선택지 범위 11 -- 15 중간에 위치하며, 큰 기여 케이스 두 개 (k = 1과 k = 3이 각각 5)와 작은 케이스 두 개 (k = 0의 2, k = 5의 1)의 합 5 + 5 + 2 + 1 = 13으로 자연스러움. 불가능 케이스 (k = 2, 4)는 그림으로 즉시 이해됨 — 남은 호의 길이가 홀수거나 반대편 두 사람만 남기 때문.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 10 명을 그리고 사용한 지름 수 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5로 나눠 세면 2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13. 답은 (C).