AMC 10 · 2020 · #20
학년 8 probability답을 골라 클릭하세요.
도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심이다. 4096개의 쌍을 나열하는 대신, 64가지 색칠을 "서로 회전으로 옮겨지는 것끼리" 묶어 그룹으로 정리한다. 그룹의 크기만 알면 전체 확률이 짧은 식 하나로 정리된다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 회전이 검은 면의 개수를 바꾸지 못한다는 점을 이용해 검은 면 개수별로 분류 작업을 나눈다. 도구 #17(공간 상상하기)과 도구 #10(직접 만져보기)은 이 문제에서 유일하게 까다로운 검은 면 2개, 3개인 경우를 정육면체를 머릿속에 그리거나 실제로 쥐어 보며 해결한다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 그룹 크기의 합이 64가 되는지 계속 확인한다. 도구 #5(패턴 찾기)는 흑백 대칭을 이용해 검은 면 4, 5, 6개인 경우를 공짜로 얻는다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 최종 값과 아슬아슬하게 비슷한 오답 선택지를 구분한다.
경우의 수 세기
두 정육면체의 전체 경우를 셉니다.
결과가 64가지인 독립 시행 두 번은 결과가 4096가지인 시행 하나와 같다.
7.SP.C.8Identify Subproblems회전 그룹으로 묶기
확률이 묶음 크기의 제곱의 합이 됩니다.
일치란 "두 정육면체가 같은 바구니에 담겼다"는 뜻이므로 각 바구니는 크기의 제곱만큼 기여한다.
8.G.A.2Organize Information In More Ways검은 면 개수로 나누기
검은 면 개수로 버킷을 만듭니다.
회전은 면의 자리를 섞을 뿐이라 검은 면이 몇 개인지는 바꿀 수 없다.
회전은 어느 면이 어디 놓이는지만 바꾸므로, 검은 면의 개수를 바꿀 수 없다.
▸ 왜?
회전은 정육면체를 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 면이 새로 생기거나 사라지지 않는다.
▸ 왜?
각 면은 정확히 한 면으로 옮겨지므로, 색마다의 개수가 그대로 넘겨진다.
영 개와 한 개인 경우
이 두 경우는 묶음이 하나씩입니다.
검은 면이 하나뿐이면 구별할 특징이 없어서 모두 똑같아 보인다.
8.G.A.1Make A Systematic List두 개인 경우
마주 보느냐 아니냐로 두 갈래입니다.
검은 면 두 개는 모서리에서 만나거나 만나지 않거나 둘 중 하나이고, 회전으로는 그것을 바꿀 수 없다.
8.G.A.2Visualize Spatial Relationships세 개인 경우
모서리형과 띠형으로 갈립니다.
검은 면 세 개는 한 꼭짓점을 감싸거나, 벨트처럼 정육면체를 한 바퀴 두른다.
8.G.A.2Create A Physical Representation나머지는 대칭으로
네 개 이상은 대칭으로 얻습니다.
모든 면의 색을 반대로 칠하는 것은 그림에 붙은 이름표만 완벽하게 맞바꾸는 일이다.
8.G.A.1Look For A Pattern제곱해서 더하기
제곱해 더하면 1024분의 147입니다.
각 바구니가 두 정육면체를 모두 담을 확률은 크기의 제곱을 4096으로 나눈 값이다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities64가지 색칠을 서로 회전으로 옮겨지는 그룹끼리 묶으면, 두 정육면체가 같은 그룹에 들어갈 확률은 그룹 크기의 제곱을 모두 더해 4096으로 나눈 값이고, 그 값은 588/4096 = 147/1024이다.
- 같은 확률의 경우의 수 세기
- 색칠을 회전 그룹으로 묶기
- 검은 면 개수로 나누기
- 검은 면 0개와 1개인 경우
- 검은 면 2개는 두 갈래
- 검은 면 3개도 두 갈래
- 4, 5, 6개는 대칭으로 얻기
- 제곱해서 더하고 약분하기
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