AMC 10 · 2020 · #22

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

exponentspolynomial-substitutioncompleting-the-squareoptimization convert-to-algebraidentify-subproblemsextreme-principle ↑ 선수 지식: exponentsquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

모든 실수에 대해 2의 거듭제곱에서 그 수의 세 배를 뺀 것에 그 수를 곱하고 4의 거듭제곱으로 나눈 값을 봅니다. 이 값이 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{16}$

(B)

$\frac{1}{15}$

(C)

$\frac{1}{12}$

(D)

$\frac{1}{10}$

(E)

$\frac{1}{9}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #15(다르게 정리): 분수를 두 조각으로 쪼개 반복되는 덩어리 t/2^t를 드러냄. 도구 #4(변수 도입): 그 덩어리를 u 라 부르면 복잡한 식이 u - 3u²로 축소. 도구 #9(더 쉬운 문제): u 에 대한 이차식 최대화는 9학년 수준 — 원래 문제보다 훨씬 쉬움. 도구 #14(극단의 원리): 완전제곱으로 꼭짓점을 읽어 상한 확보. 도구 #6(추측·확인): t = 0, t = 1 두 값만 대입해 필요한 u 가 실제 도달 가능한지 확인 — 도달 못 하는 상한은 최댓값이 아님.

1STEP 1

분모를 제곱 꼴로

분모를 제곱으로 씁니다.

((2^t - 3t) t)/4^t = (t · 2^t - 3t²)/(2^t)²

2STEP 2

분수를 둘로 쪼개기

분수를 두 조각으로 나눕니다.

(t · 2^t - 3t²)/(2^t)² = t/2^t - 3(t/2^t)²

3STEP 3

반복 덩어리에 이름 붙이기

같은 덩어리가 두 번 나옵니다.

u = t/2^t ⟹ f(t) = u - 3u²

4STEP 4

완전제곱으로 천장 찾기

완전제곱이 상한을 줍니다.

u - 3u² = 1/12 - 3(u - 1/6)² ≤ 1/12

5STEP 5

실제로 닿는지 확인

중간값 정리로 닿음을 확인합니다.

g(0) = 0 ＜ 1/6 ＜ 1/2 = g(1) 이므로 어떤 t₀ ∈ (0, 1) 에서 g(t₀) = 1/6

6STEP 6

최댓값 읽기

최댓값은 12분의 1입니다.

max_t ∈ R ((2^t - 3t) t)/4^t = 1/12 → (C)

정답

1/12

몇 개 값 점검. t = 1: (2 - 3)(1)/4 = -1/4. t = 2: (4 - 6)(2)/16 = -1/4. t = 1/2: u ≈ 0.3536이라 u - 3u² ≈ -0.021. 모두 1/12 ≈ 0.0833 아래 — 조건 만족. t = 0.2: u ≈ 0.1741이라 u - 3u² ≈ 0.0832 — 1/12 바로 아래로 매우 근접, t₀ ≈ 0.190 근처이니 당연한 결과. 또한 g(t) = t/2^t는 t = 0의 0 에서 t ≈ 1.443 부근의 약 0.531까지 올라가므로 u = 1/6을 두 번 지남 — 어느 쪽이든 값은 같은 1/12. 상한이 딱 맞고 답 1/12은 선택지 (C).

💡핵심 정리

반복되는 덩어리에 이름을 붙이세요 — u = t/2^t로 두면 괴물 같던 ((2^t-3t)t)/4^t는 그냥 u - 3u² = 1/12 - 3(u - 1/6)²이라 천장이 1/12이고, t/2^t가 t = 0 → 1 에서 0 → 1/2로 연속히 움직이니 그 천장에 실제로 닿습니다.

분모를 제곱 꼴로
분수를 둘로 쪼개기
반복 덩어리에 이름 붙이기
완전제곱으로 천장 찾기
꼭대기에 실제로 닿는지 확인
최댓값 읽기