AMC 10 · 2021 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

reflection-unfoldingcoordinate-geometrypythagorean-theoremline-symmetry easier-related-problemwork-backwards ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

레이저가 한 점에서 출발해 직진하다가 y축에서 한 번, x축에서 한 번 반사한 뒤 다른 점에 도착합니다. 경로는 두 반사점에서 이어진 세 개의 선분입니다. 그 세 선분의 길이의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{10}$

(B)

$5\sqrt2$

(C)

$10\sqrt2$

(D)

$15\sqrt2$

(E)

$10\sqrt5$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

세 조각으로 꺾인 경로는 그대로 재기 어렵습니다. 도구 #9로 더 쉬운 문제로 바꿉니다: 반사를 "펴기". y축에서의 반사는 거울상 쪽으로 곧게 이어간 것과 길이가 정확히 같으므로, 빛을 꺾는 대신 목표점을 옮깁니다. 도착점 D 를 x축, 이어서 y축에 대칭이동시키면 지그재그 전체가 A 에서 두 번 대칭이동한 목표점까지의 "한 개의 선분" 으로 펴집니다. 도구 #1(그림 그리기)로 네 점을 정리하고, 도구 #4(변수 도입하기)로 반사점을 B=(0,b), C=(c,0)로 이름 붙이며, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "펴기" 와 "거리 한 번 재기" 두 단계로 나누고, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 펴진 직선에서 실제 반사점을 되찾아 경로가 실제로 가능함을 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지와 대조합니다.

1STEP 1

두 반사점에 이름 붙이기

경로는 세 선분의 합입니다.

B = (0,b), C = (c,0), 총합 = AB + BC + CD

2STEP 2

꺾는 대신 비추기

빛을 꺾는 대신 거울에 비춥니다.

x축 대칭: (x,y) ↦ (x,-y) y축 대칭: (x,y) ↦ (-x,y)

3STEP 3

두 반사를 한 직선으로 펴기

두 번 비추면 경로가 직선 하나가 됩니다.

D = (7,5) → D' = (7,-5) → D'' = (-7,-5) AB + BC + CD = AD''

4STEP 4

펴진 경로 재기

두 점 사이 거리를 잽니다.

AD'' = √((3-(-7))² + (5-(-5))²) = √(10² + 10²) = √(200) = 10√(2)

5STEP 5

실제 반사점 찾기

거꾸로 풀어 반사점을 찾습니다.

y = x + 2 → B = (0,2), C = (2,0)

6STEP 6

세 선분 더해 확인

더해 보면 10루트2입니다.

AB = 3√(2), BC = 2√(2), CD = 5√(2) AB + BC + CD = (3 + 2 + 5)√(2) = 10√(2) → (C)

정답

10√2

세 가지 확인이 모두 일치합니다. 첫째, 크기: 빛은 높이 5 에서 x축까지 내려갔다 다시 올라와야 하므로 A 와 D 사이의 직선 거리 4 보다 훨씬 멀리 갑니다. 10√(2) ≈ 14.1은 타당한 크기이고, 5√(2) ≈ 7.07은 x축까지 갔다 오기에 너무 짧습니다. 둘째, 두 반사점에서 반사 법칙이 성립합니다. B = (0,2)로 들어오는 방향은 (-3,-3), 나가는 방향은 (3,-3)으로 y축이 가로 성분만 뒤집었으니 정확히 반사입니다. C = (2,0)으로 들어오는 방향은 (2,-2), 나가는 방향은 (2,2)로 x축이 세로 성분을 뒤집었습니다. 셋째, 두 계산이 일치합니다. 펴서 잰 AD'' = 10√(2)와 실제 선분을 더한 3√(2) + 2√(2) + 5√(2) = 10√(2)가 같습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년까지의 좌표평면 대칭이동과 거리 공식이면 충분합니다. 반사되는 빛은 거울 속에서 보면 그냥 직선이므로, 빛을 꺾지 말고 "목표점" 을 대칭이동시키세요. (7,5)를 x축, 이어서 y축에 대칭이동하면 (-7,-5)가 되고, 지그재그 전체가 (3,5) 에서 출발하는 한 직선이 되어 길이는 √(10²+10²) = 10√(2), 답은 (C)입니다.

두 반사점에 이름 붙이기
빛을 꺾는 대신 거울에 비추기
두 번의 반사를 한 직선으로 펴기
펴진 경로 길이 재기
거꾸로 풀어 실제 반사점 찾기
세 선분을 더하고 선택지 고르기