AMC 10 · 2021 · #20
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
수치로 고정된 것이 하나도 없으므로 도구 #4(변수 도입하기)가 앞장선다. 구하려는 길이를 d = FV로 이름 붙이고, 꼭짓점과 축이 정해진 포물선은 이 한 수로 완전히 결정된다는 점을 잡는다. 도구 #1(그림 그리기)은 V를 원점에, F를 (0,d)에, 준선을 y=-d에 놓아 문제 속 모든 거리를 좌표에서 읽을 수 있게 한다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 초점-준선 정의를 방정식 x²=4dy로 바꾸고 주어진 두 길이를 두 방정식으로 바꾼다. 대수를 깔끔하게 유지하는 결정적 한 수는 도구 #16(관점 바꾸기)이다: AF를 초점까지 제곱근으로 재는 대신, 그와 같은 준선까지의 거리를 재면 단순한 뺄셈이 된다. 한 점에 대한 두 조건은 d에 대한 이차방정식 하나만 남긴다. 도구 #3(가능성 지우기)이 두 근이 모두 진짜 포물선인지 아니면 대수적 허깨비인지 확인하고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 마무리한다: 문제가 원하는 것은 근의 합이고 그 값은 이미 계수가 품고 있으므로 지저분한 근을 직접 구할 필요가 전혀 없다.
초점거리에 이름 붙이기
꼭짓점을 원점에 둡니다.
꼭짓점과 축이 정해지면 포물선의 모양을 정하는 값은 딱 하나뿐이므로, 미지수 d 하나면 문제가 말하는 모든 포물선을 설명할 수 있다.
10.G-GPE.A.1Introduce A Variable정의에서 식 얻기
정의가 포물선의 식을 줍니다.
두 거리를 제곱하면 근호가 사라지고 짝을 이루는 y²와 d²가 상쇄되어 깔끔한 관계식 x²=4dy만 남는다.
두 거리를 제곱하면 근호가 지워지고, 서로 맞는 항이 상쇄되어 깔끔한 관계가 남는다.
▸ 왜?
곡선 위의 모든 점은 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같으므로, 두 거리가 같다.
▸ 왜?
참인 등식의 양변을 제곱해도 참으로 남으므로, 그 단계에서 잃는 것이 없다.
준선까지 재기
초점까지 대신 준선까지 잽니다.
초점까지의 거리는 사실 가로선까지의 세로 낙차이고, 세로 낙차는 y좌표의 차일 뿐이다.
9.A-CED.A.2Change Focus Count The Complement거리 공식으로 쓰기
거리 공식으로 두 번째 조건을 씁니다.
꼭짓점을 원점에 고정하면 AV는 단순한 거리 공식이 되고, 곡선의 방정식이 거추장스러운 x_A²을 대신 치워 준다.
8.G.B.8Convert To Algebra이차방정식으로 줄이기
초점거리에 대한 이차방정식이 됩니다.
같은 점 A에 대한 두 사실 — 주어진 길이마다 하나씩 — 은 그 좌표를 지우고 d만 남기기에 딱 맞는 양이다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable두 근이 유효한지 확인
두 근이 모두 유효한 범위입니다.
제곱은 그림에 맞지 않는 해를 만들어 낼 수 있으므로, 합에 넣기 전에 각 근을 기하학적으로 점검한다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities근을 구하지 않고 더하기
근과 계수의 관계로 3분의 40이 나옵니다.
이차식의 계수는 이미 두 근의 합과 곱을 담고 있으므로, 합을 묻는 질문에는 근 자체가 필요 없다.
9.A-SSE.A.1Solve An Easier Related Problem가능한 모든 값의 합을 묻는 문제라면 그 미지수 하나에 대한 방정식 하나를 목표로 하라 — 이차식의 계수는 근을 직접 구하지 않아도 근의 합을 그대로 알려 준다.
- 초점거리에 이름 붙이기
- 정의에서 포물선 식 얻기
- 초점 말고 준선까지 재기
- 거리 공식으로 AV 쓰기
- d에 대한 이차방정식으로 줄이기
- 두 근이 모두 유효한지 확인하기
- 근을 구하지 않고 더하기