AMC 10 · 2021 · #21
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
일반적인 이차곡선에는 미지의 계수가 다섯 개 있는데, 이는 주어진 점의 개수와 똑같다. 풀 수는 있지만 지저분하다. 도구 #1(그림 그리기)이 먼저 그 수를 줄여 준다. 다섯 근을 찍어 보면 x축을 기준으로 짝지어 대칭이고, 그 점들을 지나는 타원이 유일하므로 타원 자신도 같은 대칭을 가져야 한다. 이 관찰 하나로 xy항과 y항이 사라지고 중심이 x축 위로 고정된다. 이어서 도구 #4(변수 도입하기)로 남은 것들, 즉 중심 (h,0)과 두 축 길이의 제곱 a², b²에 이름을 붙이면 미지수 세 개가 다섯 점을 모두 흡수한다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 마무리를 순서대로 정리해 준다. 먼저 이차방정식을 풀고, 다음에 h, 그다음 a²과 b², 마지막에 이심률을 하나씩 처리한다.
다섯 근 구하기
인수마다 근을 읽어냅니다.
곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이므로, 인수분해된 방정식은 사실 작은 방정식 세 개가 나란히 놓인 것이다.
곱이 0이 되는 것은 인수 가운데 하나가 0일 때뿐이므로, 인수분해된 방정식은 사실 작은 방정식 여럿이다.
▸ 왜?
0이 아닌 두 수를 곱해 0이 될 수 없으므로, 인수 밖에 숨은 근은 없다.
▸ 왜?
인수들의 해가 겹치지 않고 모든 것을 덮으므로, 근을 그냥 모아 늘어놓으면 된다.
대칭 읽어내기
점들이 축에 대해 대칭입니다.
점들이 거울 속에서 똑같아 보이고 그 점들에 맞는 곡선이 하나뿐이라면, 곡선도 거울 속에서 똑같아 보일 수밖에 없다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram축 위의 점 활용
축 위의 점이 한 축을 정합니다.
중심과 같은 가로선 위에 놓인 점은 꼭짓점이고, 꼭짓점은 반축의 길이를 공짜로 알려 준다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable중심 찾기
나머지 점들이 중심을 정합니다.
둘 다 b²과 같은 두 식은 서로 붙일 수 있고, 붙이는 순간 원하지 않던 미지수가 화면에서 사라진다.
9.A-REI.B.3Introduce A Variable두 축의 길이 읽기
두 축의 길이를 계산합니다.
중심이 정해지고 나면 남은 길이는 모두 그 중심에서 잰 거리일 뿐이다.
9.A-REI.B.3Identify Subproblems이심률로 바꾸기
이심률로 바꿔 더하면 7입니다.
이심률은 두 축의 비만 따지므로, a²과 b²에 들어 있는 지저분한 공통 인수는 반드시 약분된다.
10.G-GPE.B.4Introduce A Variable맞춰야 할 점들이 서로 거울상이고 거기에 맞는 곡선이 하나뿐이라면, 그 곡선도 거울상일 수밖에 없다. 공짜로 얻은 이 대칭이 미지수 다섯 개를 하나로 줄여 준다.
- 다섯 개의 근 구하기
- 점을 찍고 대칭 읽어내기
- 축 위의 점 활용하기
- 축 길이를 소거해 h 구하기
- 두 축의 길이 읽어내기
- 축에서 이심률로 바꾸기