AMC 10 · 2021 · #24

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

inscribed-angletangent-circleschord-perpendicular-from-centercoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: inscribed-angle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

반원이 길이 14인 지름 위에 놓여 있습니다. 어떤 원이 그 지름에 한 점에서 접하고 반원과 두 점에서 만납니다. 두 교점을 잇는 현의 길이는 3루트3이고 접점에서 그 현을 보는 각은 60도입니다. 세 점이 이루는 삼각형의 넓이를 요구된 꼴로 쓰고 그 안의 세 수를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

110

(B)

114

(C)

118

(D)

122

(E)

126

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 두 중심과 접점, 공통현 QR을 그려 넣는 순간 두 사실이 보입니다 — Ω 의 중심은 P 바로 위에 있고, 두 중심이 모두 QR의 수직이등분선 위에 있어 세 점이 한 직선에 놓입니다. 도구 #4(변수 도입하기) — 아직 모르는 단 하나, P 의 가로 위치에 이름을 붙입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — Ω 의 크기, P 의 위치, 직선 QR 의 식, P 에서 그 직선까지의 거리, 네 개의 작은 문제로 나눕니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 좌표로 옮기면 뒤의 두 문제는 한 줄 계산이 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기) — P 의 후보 위치 두 개 중 하나는 P 를 AB 바깥으로 밀어내므로 지웁니다.

1STEP 1

좌표 잡고 접선 쓰기

접선 조건이 중심을 수직 위에 놓습니다.

Γ: x² + y² = 49, P = (p, 0), M = (p, ρ)

2STEP 2

원주각을 중심각으로

원주각 60도가 중심각 120도가 됩니다.

∠ QMR = 2∠ QPR = 120°

3STEP 3

원의 반지름 구하기

현과 중심각이 반지름을 줍니다.

sin 60° = QN/ρ = 3√(3)/2ρ; √(3)/2 = 3√(3)/2ρ → ρ = 3

4STEP 4

두 중심에서의 거리

두 중심에서 현까지의 거리를 잽니다.

QN² = (3√(3)/2)² = 27/4; MN = 3/2, ON = 13/2

5STEP 5

접점의 위치 찾기

두 후보 중 하나는 반원 밖이라 버립니다.

√(p² + 9) ∈ {5, 8}; √(p²+9)=8 → |p| = √(55) ＞ 7 (기각); √(p²+9)=5 → p = 4

6STEP 6

직선과 높이 구하기

현의 직선과 접점까지의 높이를 구합니다.

8x + 6y = 65; d(P, QR) = (|32 - 65|)/(√(64 + 36)) = 33/10

7STEP 7

넓이 계산하고 더하기

넓이를 구해 더하면 122입니다.

[PQR] = 1/2 · 3√(3) · 33/10 = 99√(3)/20; a+b+c = 99+3+20 = 122

정답

122

넓이 크기 확인. △ PQR 의 모든 꼭짓점은 반지름 3 인 Ω 위에 있고, 그 원에 내접하면서 P 에서 60° 를 이루는 삼각형 중 가장 큰 것은 정삼각형으로 넓이가 √(3)/4(3√(3))² = 27√(3)/4 ≈ 11.69입니다. 우리 값 99√(3)/20 ≈ 8.57은 그보다 작고 양수이므로 범위 안입니다. 높이 확인: 높이 33/10 = 3.3은 Ω 위의 점에서 직선 QR 까지 가능한 최대 거리 MN + ρ = 3/2 + 3 = 4.5 이하여야 하는데 실제로 3.3 ＜ 4.5입니다. 위치 확인: P = (4, 0)은 |4| ＜ 7 이므로 정말 AB 위에 있고, M = (4, 3)은 O 에서 5 만큼 떨어져 있어 Ω 가 Γ 의 테두리를 5 + 3 - 7 = 1 만큼 넘어섭니다. 바로 그래서 Γ 를 두 점에서 자릅니다. 마지막으로 99√(3)/20은 이미 기약이고 99 + 3 + 20 = 122로 (D)와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 10학년 원 기하만 있으면 풀려요 — 접선 조건으로 작은 원의 중심이 P 바로 위에 오고, 원주각 60° 가 반지름을 3으로 고정하고, 공통현 QR이 두 중심을 한 직선 위에 몰아넣어 P = (4, 0)이 되고, 두 원의 식을 빼면 직선 QR 이 나옵니다. 그러면 넓이는 1/2 · 3√(3) · 33/10 = 99√(3)/20이고 99 + 3 + 20 = 122입니다.

좌표 잡고 접선 조건 쓰기
원주각 60도에서 중심각 120도로
원의 반지름 구하기
두 중심에서 QR 까지의 거리
접점 P 의 위치 찾기
직선 QR 과 P 에서의 높이
넓이 계산하고 더하기