AMC 10 · 2021 · #9
학년 8 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 인수 2 개, 3 개짜리 짧은 곱부터 시도. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 단계 지수가 두 배가 되는 규칙을 발견. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 엔진 — (a - b)(a + b) = a² - b². 도구 #3(가능성 지우기)으로 지수가 틀린 보기와 부호가 틀린 보기를 차례로 탈락.
빠진 인수 끼워 넣기
3 빼기 2는 1이라 공짜입니다.
인수 두 개면 3⁴ - 2⁴ — 지수가 1 → 2 → 4로 두 번 두 배.
6.EE.A.3Solve An Easier Related Problem제곱의 차 만들기
두 인수가 제곱의 차로 합쳐집니다.
제곱의 차를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배 — 1 → 2 → 4 → 8 → …
두 제곱의 차를 쓸 때마다 앞의 지수가 제곱된다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 그 차를 곱한 것으로 접힌다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세므로, 거듭제곱을 제곱하면 그 횟수가 두 배가 된다.
연쇄적으로 접기
한 인수씩 지수가 두 배가 됩니다.
한 번 합칠 때마다 지수 두 배: 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128. 일곱 번 두 배로 2⁷ = 128 도달.
8.EE.A.1Convert To Algebra지수 추적하기
일곱 번 두 배가 되면 백이십팔입니다.
원래 인수 7 개 → 지수 1 에서 두 배를 7 번 → 2⁷ = 128.
8.EE.A.1Look For A Pattern보기와 맞추기
답은 3의 128제곱 빼기 2의 128제곱입니다.
제곱의 차 사슬은 항상 aⁿ - bⁿ (차)을 만듦 — 합 형태 보기는 모두 제외.
8.EE.A.1Eliminate Possibilities이 AMC 12 문제는 사실 8학년 지수 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 앞에 (3 - 2) = 1을 슬쩍 끼우고, (a - b)(a + b) = a² - b²를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배. 일곱 번 두 배로 1 → 128, 답 3¹²⁸ - 2¹²⁸.