AMC 10 · 2021 · #11

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer

coordinate-geometryslope-interceptpythagorean-theoremcasework convert-to-algebraidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형의 세 변이 13, 14, 15입니다. 한 변 위의 점이 그 변을 5와 10으로 나눕니다. 그 점과 마주 보는 꼭짓점을 잇는 직선 위에 두 점이 있어 각각 네 점이 사다리꼴을 이루게 합니다. 그런 점이 정확히 두 개입니다. 두 점 사이의 거리를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{42}5$

(B)

$6\sqrt2$

(C)

$\frac{84}5$

(D)

$12\sqrt2$

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

먼저 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)가 판을 정리합니다: 사각형 ABCD 에서 마주 보는 변의 쌍은 {AB, CD}와 {BC, AD} 딱 두 개뿐이므로, "사다리꼴" 이 되는 방법도 정확히 두 가지. 문제에 나오는 "정확히 두 점" 이 바로 여기서 나오고, 계산도 두 경우로 깔끔하게 갈립니다. 그다음 도구 #1 (그림 그리기)로 그림을 좌표평면에 올립니다 — 13-14-15 삼각형은 좌표가 유리수라서 이 문제의 모든 점이 예쁜 분수로 떨어집니다. 이후 도구 #13 (대수로 바꾸기)이 각 경우를 한 줄짜리 질문으로 만듭니다: 기울기를 아는 직선과 직선 BP 의 교점 구하기. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 순서를 정해줍니다: B 의 좌표 → 직선 BP → D → E → 거리 한 번.

1STEP 1

두 경우로 나누기

사다리꼴이 되는 방법이 두 가지입니다.

경우 1: CD ∥ AB 경우 2: AD ∥ BC

2STEP 2

좌표 잡기

세 변의 길이가 좌표를 정합니다.

x² + y² &= 169 ; (x-15)² + y² &= 196 ; → -30x + 225 &= 27 ; x &= 33/5, y = √(169 - 1089/25) = 56/5

3STEP 3

기준 직선 구하기

두 점이 놓인 직선을 구합니다.

P = (5,0), m_BP = (56/5 - 0)/(33/5 - 5) = 56/5/8/5 = 7 → y = 7(x-5)

4STEP 4

첫 경우의 점 찾기

첫 평행 조건으로 교점을 구합니다.

m_AB &= 56/33, y = 56/33(x-15) ; 7(x-5) &= 56/33(x-15) ; 231(x-5) &= 56(x-15) ; 175x &= 315 → x = 9/5, y = 7(9/5-5) = -112/5

5STEP 5

둘째 경우의 점 찾기

둘째 조건도 같은 방식입니다.

m_BC &= (0 - 56/5)/(15 - 33/5) = -56/5/42/5 = -4/3, y = -4/3x ; 7(x-5) &= -4/3x ; 21x - 105 &= -4x → x = 21/5, y = -28/5

6STEP 6

두 점 사이 거리 재기

거리는 12루트2입니다.

DE &= √((21/5-9/5)² + (-28/5+112/5)²) = √((12/5)² + (84/5)²) ; &= 12/5√(1 + 49) = 12/5 · 5√(2) = 12√(2) → (D)

정답

12√2

확인 세 가지. (1) 두 점은 직선 BP 위에 있어야 함: 차이로 계산한 기울기가 (84/5)/(12/5) = 7로 m_BP와 정확히 같으므로 D, E, B, P 는 실제로 한 직선 위. (2) 평행 조건 성립: CD 의 기울기는 (0 + 112/5)/(15 - 9/5) = 112/5/66/5 = 56/33 = m_AB, AE 의 기울기는 -28/5/21/5 = -4/3 = m_BC. (3) 어느 쪽도 몰래 평행사변형이 되지 않았음 (평행한 쌍이 둘이면 "정확히 두 점" 이 깨짐): AD 의 기울기는 -112/9 ≠ -4/3, CE 의 기울기는 28/54 = 14/27 ≠ 56/33. 함정 선택지도 눈에 띕니다: 84/5는 세로 차이일 뿐이고 42/5는 그 절반 — 둘 다 계산 도중의 조각이지 거리가 아닙니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 기울기·거리 계산이면 충분해요. 사각형에는 마주 보는 변의 쌍이 두 개뿐이라 "ABCD 를 사다리꼴로 만들기" 도 두 가지뿐이고, 13-14-15 삼각형을 좌표평면에 올려 직선 BP 를 두 평행선과 각각 만나게 하면 두 교점은 가로로 12/5, 세로로 84/5 떨어져 있어 DE = 12√(2).