AMC 10 · 2021 · #23

학년 11 probability

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Cyclic Participant Share

geometric-series-infinitesequences-arithmeticpermutations-basicindependent-events convert-to-algebraidentify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: geometric-series-infiniteindependent-events

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

공 세 개를 1번, 2번, 3번으로 이어지는 통에 한 번에 하나씩 독립적으로 던집니다. 각 공이 i번 통에 들어갈 확률은 2의 마이너스 i제곱입니다. 세 공이 서로 다른 세 통에 들어가되 번호를 정렬했을 때 간격이 같을 확률을 구하고 기약분수의 분자와 분모를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

먼저 도구 #13 (대수로 바꾸기): "고르게 떨어져 있다" 는 결국 "정렬한 통 번호가 등차수열을 이룬다" 는 뜻이다. 핵심은 도구 #4 (변수 도입하기) — 가장 작은 통을 a, 공통 간격을 d 라 두면 유리한 통 집합은 모두 {a, a+d, a+2d} 꼴이고, a ≥ 1, d ≥ 1 인 순서쌍 (a, d)와 정확히 일대일로 대응한다. 무한히 많은 유리한 경우를 중복 없이, 빠짐없이 색인할 수 있다. 도구 #7 (쪼개기)로 "한 배치의 확률" 과 "배치의 개수" 두 조각으로 나누고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 서로 다른 세 통을 세 공에 나눠 주는 3! 가지를 센다. 마지막으로 도구 #15 (다르게 정리하기) — 이중합의 각 항이 a 부분과 d 부분의 곱이므로 이중합 자체가 두 개의 등비급수 곱으로 쪼개진다.

1STEP 1

조건을 번역하기

정렬한 뒤 두 간격이 같다는 뜻입니다.

{3, 17, 10} ⟶ 3, 10, 17 , 10 - 3 = 17 - 10 = 7

2STEP 2

시작점과 간격에 이름 붙이기

세 통을 두 문자로 씁니다.

통 = {a, a+d, a+2d}, a ≥ 1, d ≥ 1

3STEP 3

한 배치의 확률

세 확률을 곱합니다.

2^-a · 2^-(a+d) · 2^-(a+2d) = 2^-(3a+3d) = 1/8^a 8^d

4STEP 4

공의 배치 수 세기

공이 구별되므로 순서를 곱합니다.

P(a, d) = 3! · 2^-(3a+3d) = 6/8^a 8^d

5STEP 5

이중합 쪼개기

두 등비급수의 곱이 됩니다.

Σ_a ≥ 1Σ_d ≥ 16/8^a 8^d = 6(Σ_a ≥ 11/8^a) (Σ_d ≥ 11/8^d) = 6·1/7·1/7

6STEP 6

약분하고 더하기

더하면 55입니다.

p/q = 6/49, gcd(6, 49) = 1, p + q = 6 + 49 = 55 → (A)

정답

먼저 크기 감각. 6/49 ≈ 0.122 — 작지만 무시할 만큼 작지는 않은 값이고, 이는 모형과 잘 맞는다. 공은 대부분 번호가 작은 통에 떨어지는데, 짧은 등차 삼총사가 사는 곳이 바로 그 낮은 번호대이기 때문이다. 아래쪽 한계로, 삼총사 {1, 2, 3} 하나만 해도 6 · 2⁻¹2⁻²2⁻³ = 6/64 ≈ 0.094로 전체의 대부분을 차지하고, 나머지 삼총사들이 조금씩 더 얹힌다. 답의 크기가 딱 그 모양이다. 둘째로, 다른 매개변수로 잡아도 같은 값이 나온다. 가운데 통 m 을 기준으로 조건을 걸면 가장 작은 통은 b = 1, 2, …, m-1 중 아무거나이고 가장 큰 통은 2m - b 로 결정되므로, 각 삼총사의 확률은 6 · 2^-b 2^-m 2^-(2m-b) = 6 · 2⁻³m — 여기서도 b 와 무관하다. 더하면 6Σ_m ≥ 2(m-1) 2⁻³m = 6 · 1/49 = 6/49로 일치한다. 마지막으로 보기 55부터 59 까지가 연속이라 계산 실수로 옆 보기에 우연히 안착할 여지가 없다. p + q 가 55로 확정되는 근거는 gcd(6, 49) = 1 이라는 약분 확인이다.

💡핵심 정리

"고르게 떨어져 있다" 는 사실 등차수열의 다른 말이다. 가장 작은 통을 a, 간격을 d 라 두면 성공하는 삼총사는 모두 a, a+d, a+2d 이고 확률은 6 · 1/8^a 8^d — 이 이중합은 똑같은 등비급수 두 개의 곱으로 쪼개지고 각각의 합이 1/7이다. 그래서 6/49, 답은 p + q = 55로 (A).

"고르게 떨어져 있다" 를 번역
시작점과 간격에 이름 붙이기
한 배치의 확률
공의 배치 수 세기
이중합 쪼개기
약분하고 더하기