AMC 10 · 2021 · #24

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

trigonometric-ratiospythagorean-identitysine-area-formulaquadratic-equations convert-to-algebrasymmetry-argumentidentify-subproblems ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiospythagorean-identity

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

평행사변형의 넓이가 15입니다. 두 꼭짓점에서 한 대각선에 내린 수선의 발 사이 거리가 6이고, 나머지 두 꼭짓점에서 다른 대각선에 내린 수선의 발 사이 거리가 8입니다. 긴 대각선의 길이를 제곱한 값을 요구된 꼴로 쓰고 그 안의 세 수를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

105

(E)

113

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기) — 이 도형은 두 대각선의 길이와 그 사이 각 θ 만 정하면 완전히 결정된다. 이름만 붙이면 주어진 조건이 전부 방정식이 된다. 도구 #1 (그림 그리기) — 그림에서 두 대각선이 만나는 중심 E 가 풀이의 핵심 축이다. Q 는 E 에 대한 P 의 대칭점, S 는 R 의 대칭점이기 때문. 도구 #13 (대수로 바꾸기) — 넓이 조건, PQ 조건, RS 조건이 미지수 두 개짜리 식 세 개가 된다. 도구 #15 (다르게 정리하기) — PQ 식을 RS 식으로 나누면 공통 인수 cosθ 가 사라지면서 비 AC : BD 가 바로 나온다. 도구 #16 (관점 바꾸기) — θ 를 직접 구하려 하지 말고 sin²θ + cos²θ = 1로 θ 를 아예 지운 뒤 대각선 길이에 대한 이차방정식을 푼다.

1STEP 1

중심 활용하기

중심이 두 거리를 반씩 나눕니다.

EP = PQ/2 = 3, ER = RS/2 = 4

2STEP 2

수선의 발을 코사인으로

각 거리가 대각선 곱하기 코사인입니다.

PQ = ACcosθ = 6, RS = BDcosθ = 8

3STEP 3

대각선의 비 구하기

나누면 코사인이 약분됩니다.

AC/BD = 6/8 = 3/4 → AC = 3k, BD = 4k, cosθ = 2/k

4STEP 4

넓이로 사인 얻기

넓이가 사인을 줍니다.

[ABCD] = 1/2 · AC · BD sinθ = 1/2(3k)(4k)sinθ = 6k²sinθ = 15 → k²sinθ = 5/2

5STEP 5

각 지우기

항등식으로 각을 지웁니다.

k⁴(1 - 4/k²) = 25/4 ⟹ k⁴ - 4k² = 25/4

6STEP 6

이차방정식 풀기

남은 이차방정식을 풉니다.

4v² - 16v - 25 = 0 → v = (4 + √(41))/2, k² = (4 + √(41))/2

7STEP 7

세 수 읽어 더하기

더하면 81입니다.

d² = 16k² = 32 + 8√(41) → m + n + p = 32 + 8 + 41 = 81 → (A)

정답

도형 전체를 수치로 점검. k² = (4 + √(41))/2 ≈ 5.2016 에서 k ≈ 2.2807 이므로 AC = 3k ≈ 6.842, BD = 4k ≈ 9.123. 그러면 cosθ = 2/k ≈ 0.8769로 θ ≈ 28.7°, sinθ ≈ 0.4806. 주어진 세 조건을 모두 확인하면 PQ = ACcosθ ≈ 6.842 × 0.8769 ≈ 6.00, RS = BDcosθ ≈ 9.123 × 0.8769 ≈ 8.00, 넓이 = 1/2(6.842)(9.123)(0.4806) ≈ 15.00 — 셋 다 정확히 맞는다. 구조적 점검도 통과한다. BD ≈ 9.12 ＞ AC ≈ 6.84 이므로 BD가 실제로 더 긴 대각선이고 (사실 PQ ＜ RS 이면 자동으로 AC ＜ BD 다), cosθ = 2/k ≈ 0.877 ＜ 1 이므로 실제로 존재하는 각이다. 마지막으로 d² = 32 + 8√(41) ≈ 83.2이고 9.123² ≈ 83.2로 일치한다. 답 81은 (A) 이며, p = 41이 크지 않다는 점과도 어울린다.

💡핵심 정리

직선 위로의 정사영은 결국 "길이 × 각의 코사인" 이므로 PQ = ACcosθ, RS = BDcosθ 다. 두 식을 나누면 각이 사라지면서 AC/BD = 6/8 = 3/4가 공짜로 나온다. AC = 3k, BD = 4k 로 두면 넓이 조건과 sin²θ + cos²θ = 1이 하나의 이차방정식으로 합쳐져 d² = 32 + 8√(41), 답은 32 + 8 + 41 = 81 — (A) 다.

평행사변형의 중심 활용
수선의 발을 코사인으로 바꾸기
나눠서 대각선 비 구하기
대각선으로 넓이 쓰기
각을 지우기
k²에 대한 이차방정식 풀기
m, n, p 읽어내기