AMC 10 · 2021 · #3

학년 7 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

fraction-arithmeticlinear-equations-one-varorder-of-operationsformula-substitution work-backwardsidentify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 수가 여러 겹으로 쌓인 분수의 맨 아래에 들어 있습니다. 그 쌓인 분수 전체의 값이 53분의 144입니다. 그 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac34$

(B)

$\frac78$

(C)

$\frac{14}{15}$

(D)

$\frac{37}{38}$

(E)

$\frac{52}{53}$

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

전체 값은 주어져 있고 출발점인 x는 맨 아래 숨어 있다. 이것이 바로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 필요한 상황이다. 연산을 반대 순서로 되돌리면 된다. 좌변을 바깥에서 안쪽으로 읽으면 연산 순서는 2 더하기, 역수 취하기, 1 더하기, 역수 취하기, 2 더하기, (분자가 2인) 역수 취하기, 3 더하기이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 층을 하나의 작은 과제로 만들고, 한 층을 벗길 때마다 남는 식은 같은 모양의 더 짧은 분수 더미가 된다. 이것이 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)다. 거대한 분수를 통째로 전개할 필요가 없다.

1STEP 1

바깥의 더하기 2 되돌리기

바깥의 더하기부터 되돌립니다.

1{1+1/(2+2/(3+x))}=144/53-2=38/53

2STEP 2

뒤집어서 역수 되돌리기

뒤집어서 역수를 되돌립니다.

1+1/(2+2/(3+x))=53/38

3STEP 3

1을 빼고 다시 뒤집기

빼고 다시 뒤집습니다.

1/(2+2/(3+x))=15/38 → 2+2/(3+x)=38/15

4STEP 4

3 더하기 x까지 벗기기

맨 아래 층까지 벗깁니다.

2/(3+x)=8/15 → 3+x=(2 · 15)/8=15/4

5STEP 5

x 구하기

풀면 4분의 3입니다.

x=15/4-3=15/4-12/4=3/4 → (A)

정답

3/4

x=3/4을 넣고 아래에서 위로 다시 쌓아 본다. 맨 아래는 3+3/4=15/4이므로 2/(15/4)=8/15이고 2+8/15=38/15이다. 그다음 1/(38/15)=15/38이고 1+15/38=53/38이다. 다시 1/(53/38)=38/53이고 2+38/53=144/53으로 목표값과 정확히 같다. 크기로도 확인된다. 144/53은 2.7보다 조금 크고, 좌변은 2에 1보다 작은 분수를 더한 값이므로 반드시 2와 3 사이에 있어야 한다.

💡핵심 정리

높이 쌓인 분수는 바깥부터 안쪽으로 벗겨 나간다. 더한 것은 빼고, 1 아래에 있는 것은 뒤집고, x만 남을 때까지 이것을 반복하면 된다.

바깥의 더하기 2 되돌리기
뒤집어서 역수 되돌리기
1을 빼고 다시 뒤집기
3 더하기 x까지 벗기기
x 구하기

바깥의 더하기 2 되돌리기

뒤집어서 역수 되돌리기

1을 빼고 다시 뒤집기

3 더하기 x까지 벗기기

x 구하기

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