AMC 10 · 2021 · #8

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremcoordinate-geometryequal-spacing convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

간격이 같은 평행한 세 직선이 원을 가로질러 길이가 38, 38, 34인 현 세 개를 만듭니다. 이웃한 두 간격이 같습니다. 그 간격을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\frac12$

(B)

(C)

$6\frac12$

(D)

(E)

$7\frac12$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 원과 중심 O 를 그리고 O 에서 세 평행선으로 수선을 내림. 38 짜리 두 현은 길이가 같으므로 중심에서 같은 거리 — 즉 O 는 두 38 현이 만드는 띠의 정확한 가운데에 위치. 등간격이므로 38 두 현은 바깥쪽 두 선, 34는 가운데 선, 중심으로부터 거리는 각각 d/2, d/2, 3d/2. 도구 #7(쪼개기)로 현마다 직각삼각형(반지름·현의 반·중심거리) 두 개를 분리. 도구 #13(대수)으로 두 피타고라스식을 세워 r²을 소거하고 d 풀이. 도구 #3으로 (B) 확인.

1STEP 1

중심의 위치 찾기

중심이 두 현 정확히 가운데에 있습니다.

O 는 길이 38 인 두 현의 중간에 위치

2STEP 2

각 현까지의 거리 쓰기

세 거리를 간격 하나로 씁니다.

h₃₈ = d/2, h₃₄ = 3d/2

3STEP 3

현의 공식 쓰기

각 현마다 피타고라스가 성립합니다.

h² + ℓ² = r² (각 현마다)

4STEP 4

두 식 세우기

두 개의 식이 나옵니다.

d²/4 + 361 = r² 과 9d²/4 + 289 = r²

5STEP 5

빼서 반지름 없애기

빼면 반지름이 사라집니다.

72 = 2d² → d² = 36 → d = 6

6STEP 6

보기와 맞추기

간격은 6입니다.

d = 6 → (B)

정답

역대입: d = 6, h₃₈ = 3, h₃₄ = 9. 두 피타고라스 검산: 3² + 19² = 9 + 361 = 370, 9² + 17² = 81 + 289 = 370. 두 현 모두 같은 r² = 370 — 일관됨. r = √(370) ≈ 19.24는 19 = 38/2 바로 위이므로 가장 긴 현이 지름에 거의 닿는 느낌, h₃₈ = 3이 작은 것과 일관. 크기 감각 합리적.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요! 중심에서 각 현으로 수선을 내리면 38 현은 거리 d/2, 34 현은 거리 3d/2. 각 현에 피타고라스: 19² + (d/2)² = 17² + (3d/2)². 정리하면 2d² = 72, d = 6, 답 (B).