AMC 10 · 2021 · #11

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremsystems-of-equationscircle-equation convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremchord-perpendicular-from-center

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

중심이 같은 두 원의 반지름이 17과 19입니다. 큰 원의 현 하나를 그리되 그 길이의 정확히 절반이 작은 원 안에 들어가게 합니다. 그 현의 전체 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$12\sqrt{2}$

(B)

$10\sqrt{3}$

(C)

$\sqrt{17 \cdot 19}$

(D)

(E)

$8\sqrt{6}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

아직 아무 값도 정해지지 않았으니 핵심이 되는 두 가지에 이름을 붙인다. 공통 중심에서 현까지의 거리, 그리고 현의 절반 길이다. 중심에서 현에 내린 수선의 발은 현 전체의 중점이면서 동시에 안쪽 부분의 중점이기도 하므로, "절반이 안쪽에 있다"는 말이 곧 더 짧은 변 하나로 바뀐다. 그러면 두 직각삼각형이 같은 거리 변을 공유하게 되어 피타고라스 식이 두 개 나오고, 공유하는 미지수는 굳이 구하지 않고 지워 버릴 수 있다.

1STEP 1

중심에서 수선을 내린다

중심에서 수선을 내립니다.

OM ⊥ AB, AM = MB, PM = MQ

2STEP 2

절반 길이에 이름 붙이기

두 현이 같은 수선을 공유합니다.

AB = 2h, PQ = 1/2(2h) = h, PM = h/2, OM = d

3STEP 3

피타고라스를 두 번 쓴다

피타고라스를 두 번 씁니다.

d² + h² = 19² = 361, d² + (h/2)² = d² + h²/4 = 17² = 289

4STEP 4

빼서 거리를 지운다

빼면 거리가 사라집니다.

h² - h²/4 = 361 - 289 → 3/4h² = 72 → h² = 96

5STEP 5

선택지와 맞춰 본다

현의 길이는 8루트6입니다.

(2h)² = 4h² = 384 = 64 · 6 = (8√(6))² → AB = 8√(6)

정답

8√(6)

값을 되돌려 넣어 보자. d² = 361 - h² = 361 - 96 = 265이므로 d = √(265) ≈ 16.28이다. 이 값은 17보다 작아야 하고 실제로 작다. 그렇지 않으면 현이 작은 원을 아예 지나지 않아 안쪽에 들어간 부분이 생길 수 없다. 두 길이를 재 보면 현은 2√(96) ≈ 19.60이고 안쪽 부분은 2√(289 - 265) = 2√(24) ≈ 9.80으로, 조건대로 정확히 절반이다. 또 이 길이는 큰 원의 지름 38보다 확실히 작으므로 현으로서 타당하다. 틀린 네 선택지는 모두 16.97과 18 사이에 몰려 있는데, 이는 절반 조건을 쓰지 않고 17과 19만 조합할 때 나오는 범위다. 연립식을 정확히 푸는 것이 8√(6)을 그것들과 갈라놓는다.

💡핵심 정리

공통 중심에서 수선 하나만 내리면 현과 안쪽 부분이 같은 점에서 반으로 갈리고, 변 하나를 공유하는 두 직각삼각형의 식을 빼는 것만으로 길이가 나온다.

중심에서 수선을 내린다
절반 길이에 이름 붙이기
피타고라스를 두 번 쓴다
빼서 거리를 지운다
선택지와 맞춰 본다

중심에서 수선을 내린다

절반 길이에 이름 붙이기

피타고라스를 두 번 쓴다

빼서 거리를 지운다

선택지와 맞춰 본다

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