AMC 10 · 2021 · #13
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
각 자체만 놓고 계산하기는 어렵지만 삼각형은 그렇지 않다. 세 직선이 모두 원점을 지나므로 수직선 x = 1 하나로 셋을 한꺼번에 잘라도 잃는 정보가 없다. 그 한 번의 선긋기로 그림은 삼각형이 되어 원점에서 만나는 두 변의 길이를 거리 공식으로 잴 수 있게 되고, 미지의 기울기는 맞은편 변 위에 있는 한 점의 높이로 바뀐다. 그다음 각의 이등분선 정리가 '각이 같다'는 조건을 단순한 길이의 비로 바꿔 주고, 남은 것은 일차방정식 하나뿐이다.
x = 1 위에서 기울기를 읽는다
세로선 위에서 기울기를 읽습니다.
원점을 지나는 직선은 오른쪽으로 한 칸 갔을 때 얼마나 올라갔는지로 완전히 결정되므로, 기울기는 곧 높이다.
8.EE.B.5Draw A Diagram각을 삼각형으로 바꾼다
각을 삼각형으로 바꿉니다.
두 반직선을 수직선 하나로 자르면 열려 있던 각이 길이를 가진 삼각형으로 닫힌다.
8.G.B.8Draw A Diagram같은 각을 길이의 비로 바꾼다
이등분선이 대변을 변의 비로 나눕니다.
이등분선은 두 변 중 짧은 쪽으로 기울고, 기우는 정도는 정확히 두 변의 비만큼이다.
이등분선은 두 변 가운데 짧은 쪽으로 기울며, 그 기울기는 정확히 두 변의 비다.
▸ 왜?
두 조각은 한 직선 위 같은 꼭짓점 아래에 있으므로, 넓이가 밑변의 비를 이룬다.
▸ 왜?
이등분선은 양쪽에 같은 각을 만들므로, 두 삼각형은 한 모양을 키우고 줄인 복사본이다.
길이 2인 선분을 나눈다
길이 2인 선분을 그 비로 나눕니다.
두 조각이 서로 어떤 비인지와 합이 얼마인지를 알면 두 조각 모두 정해진다.
9.A-REI.B.3Introduce A Variable분모의 근호를 없애 다시 쓴다
분모의 근호를 없앱니다.
켤레를 곱하는 것은 분모의 근호를 깔끔한 정수로 바꾸는 단 하나의 수법이다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More WaysP에서 R까지 올라간다
올라가면 황금비가 됩니다.
x = 1에서의 이등분선의 높이가 곧 그 기울기이므로, 선분만 나누고 나면 답은 그대로 읽힌다.
8.EE.B.5Eliminate Possibilities수직선 x = 1 하나로 두 직선을 자르면 기울기 문제가 길이 문제로 바뀌고, 각의 이등분선은 그 선분을 자기 양옆 두 변의 비와 같은 비로 나눈다.
- x = 1 위에서 기울기를 읽는다
- 각을 삼각형으로 바꾼다
- 같은 각을 길이의 비로 바꾼다
- 길이 2인 선분을 나눈다
- 분모의 근호를 없애 다시 쓴다
- P에서 R까지 올라간다