AMC 10 · 2021 · #24

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

law-of-cosinessequences-arithmeticquadratic-equationscasework caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: law-of-cosinessequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

볼록사각형에서 한 변이 18이고 그 옆의 각이 60도이며 그 변이 마주 보는 변과 평행합니다. 네 변의 길이를 어떤 순서로 늘어놓으면 등차수열이 되고, 길이 18인 변이 가장 긴 것 중 하나입니다. 나머지 세 변 중 한 변의 길이가 될 수 있는 값을 모두 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 도형에는 모르는 변이 세 개인데 이들을 묶어 주는 식은 하나뿐이므로, 계산에 앞서 정리부터 해야 한다. 도구 #4 (변수 도입하기)가 그 일을 두 번 해 준다. 먼저 모르는 세 변에 이름을 붙이고, 그다음 — 문제를 유한하게 만드는 결정적 수 — 등차수열의 공차 d 에 이름을 붙이면 미지수 세 개가 하나로 줄어든다. 도구 #1 (그림 그리기)은 빠져 있던 식을 만들어 준다: 짧은 평행변을 옆으로 밀어 붙이면 사다리꼴이 60° 각을 품은 삼각형 하나로 바뀌고, 거기에 코사인법칙을 쓸 수 있다. 이어서 도구 #13 (대수로 바꾸기)이 그 기하 관계를 식으로 만들면, 등차수열을 대입했을 때 상수항과 d 없는 항들이 모두 지워져 d 에 대한 일차방정식만 남는다. 문제가 네 변이 '어떤 순서로' 등차수열을 이룬다고 했으므로 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)가 필요하다: 작은 세 항을 이름 없는 세 변에 붙이는 방법이 정확히 여섯 가지이고, 모두 시험해 봐야 한다. 마지막으로 도구 #3 (가능성 지우기)이 마무리한다. 여섯 가지 중 대부분은 길이가 0 인 변을 만들어 내므로 버려야 하기 때문이다.

1STEP 1

모르는 세 변에 이름 붙이기

모르는 세 변에 이름을 붙입니다.

AB = 18, AD = p, BC = q, CD = r

2STEP 2

짧은 변을 AB 위로 밀기

짧은 변을 밀어 평행사변형을 만듭니다.

EB = CD = r ⟹ EBCD 는 평행사변형 ⟹ DE = BC = q, AE = 18 - r

3STEP 3

코사인법칙으로 식 하나 얻기

코사인법칙이 식 하나를 줍니다.

q² = p² + (18-r)² - 2p(18-r)cos 60° = p² + (18-r)² - p(18-r)

4STEP 4

18을 기준으로 등차수열 쓰기

18을 기준으로 등차수열을 씁니다.

{18, 18-d, 18-2d, 18-3d}, p = 18 - id, q = 18 - jd, r = 18 - kd, {i,j,k} = {1,2,3}

5STEP 5

공차가 0 인 경우 확인하기

공차가 0인 평평한 경우도 확인합니다.

d = 0: p = q = r = 18, q² = p² + 0² - p · 0 = p² ✓ ⟹ a = 18

6STEP 6

여섯 가지 순서, 하나의 일차방정식

여섯 순서가 하나의 일차방정식이 됩니다.

(18-jd)² = (18-id)² + (kd)² - (18-id)(kd) ⟹ (i² + ik + k² - j²)d = 36i + 18k - 36j

7STEP 7

여섯 경우를 돌리고 죽은 것 버리기

길이가 0이 되는 경우를 버립니다.

(1,2,3): 9d = 18 → d = 2 ✓ (2,1,3): 18d = 90 → d = 5 ✓ (1,3,2): -2d = -36 → d = 18 → AD = 18 - d = 0 × (2,3,1): -2d = -18 → d = 9 → AD = 18 - 2d = 0 × (3,1,2): 18d = 108 → d = 6 → AD = 18 - 3d = 0 × (3,2,1): 9d = 54 → d = 6 → AD = 18 - 3d = 0 ×

8STEP 8

a 가 될 수 있는 값 모두 더하기

모두 더하면 84입니다.

18 + (16 + 14 + 12) + (8 + 13 + 3) = 18 + 42 + 24 = 84 ⟹ (E)

정답

마름모가 아닌 두 도형은 처음부터 다시 세워 확인할 수 있다. d = 2 일 때: AD = 16, CD = 12 이므로 AE = 18 - 12 = 6이고, BC² = 16² + 6² - 16 · 6 = 256 + 36 - 96 = 196 이라서 BC = 14이다. 네 변 12, 14, 16, 18은 공차 2의 등차수열이고 18이 가장 크다. d = 5 일 때: AD = 8, CD = 3 이므로 AE = 15이고, BC² = 8² + 15² - 8 · 15 = 64 + 225 - 120 = 169 이라서 BC = 13이다. 변 3, 8, 13, 18은 공차 5의 등차수열이다. 두 도형 모두 실제로 볼록이다. 양수인 높이와 양수인 두 평행변으로 만든 사다리꼴은 언제나 볼록이기 때문이다. 선택지들도 빠뜨린 경우가 없음을 확인해 준다. 오답 하나하나가 정확히 부분합이기 때문이다: 24는 d = 5 쪽만, 42는 그 쪽에 마름모를 더한 것, 60은 d = 2 쪽에 마름모를 더한 것, 66은 두 쪽을 다 세되 마름모를 잊은 것이다. 84 만이 전부를 세며, 이는 d = 0 인 경우와 두 개의 비자명한 경우가 모두 답에 속한다는 강한 신호다.

💡핵심 정리

짧은 평행변을 긴 변 위로 밀면 사다리꼴이 60° 각을 품은 삼각형 하나가 된다. 그다음 네 변을 18, 18-d, 18-2d, 18-3d 로 쓰고, 도형에 맞추는 여섯 가지 순서를 모두 시험한 뒤, 어떤 변도 0으로 줄어들지 않는 경우만 남기면 된다.

모르는 세 변에 이름 붙이기
짧은 변을 AB 위로 밀기
코사인법칙으로 식 하나 얻기
18을 기준으로 등차수열 쓰기
공차가 0 인 경우 확인하기
여섯 가지 순서, 하나의 일차방정식
여섯 경우를 돌리고 죽은 것 버리기
a 가 될 수 있는 값 모두 더하기