AMC 10 · 2021 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

angles-around-a-pointisosceles-triangleangle-sum-trianglesupplementary-angles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: angle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형이 있고 한 변을 지나는 직선 반대쪽에 점 하나가 있습니다. 그 점이 정사각형의 한 꼭짓점과 이루는 각이 110도입니다. 다른 한 변 위에 그 꼭짓점에서 같은 거리만큼 떨어진 점을 잡습니다. 두 점과 남은 꼭짓점이 이루는 각의 크기를 도 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

160

(B)

164

(C)

166

(D)

170

(E)

174

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심 동력입니다. 이 문제는 그림 하나를 제대로 읽는 것이 전부입니다. D 에서 나가는 세 반직선을 표시하면 그것들이 그 점 둘레의 한 바퀴를 꽉 채운다는 것이 보이고, 그러면 주어진 110° 가 단순한 뺄셈만으로 ∠ ADE 로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 나머지를 작은 일들로 나눕니다 — 먼저 △ DEF 의 꼭지각, 다음으로 그 밑각, 마지막으로 삼각형 밖으로 나가 F 에서의 일직선 관계입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 가운데 일을 맡습니다. 모르는 밑각을 x 라 두면 삼각형 내각의 합이 한 줄짜리 방정식이 됩니다. 좌표도, 삼각비도, 길이도 전혀 필요 없습니다 — 중요한 것은 DE = DF 라는 사실뿐이고, 그 길이가 얼마인지는 끝까지 쓰이지 않습니다.

1STEP 1

D 에서 세 반직선이 한 바퀴를 채운다

한 점 둘레의 각이 360도를 채웁니다.

∠ ADC + ∠ CDE + ∠ EDA = 360°

2STEP 2

빼서 각 ADE 구하기

빼서 남은 각을 구합니다.

∠ EDA = 360° - 90° - 110° = 160°

3STEP 3

그 각을 삼각형 DEF 로 옮기기

그 각을 삼각형 안으로 옮깁니다.

DF = DA → ∠ FDE = ∠ ADE = 160°, DE = DF

4STEP 4

두 밑각은 서로 같다

같은 거리라 두 밑각이 같습니다.

∠ DFE = ∠ DEF = x

5STEP 5

밑각 값 구하기

밑각의 값을 구합니다.

x + x + 160° = 180° → x = (180° - 160°)/2 = 10°

6STEP 6

F 에서의 평각으로 마무리

평각으로 마무리하면 170도입니다.

∠ AFE = 180° - ∠ DFE = 180° - 10° = 170°

정답

170

먼저 그림과 눈대중으로 맞춰 봅니다. E 는 윗변 AD의 높이보다 아주 조금만 위에 그려져 있으므로 선분 FE는 F 에서 거의 수평으로 나가면서 A 쪽으로 아주 살짝만 기울어집니다. 그러면 ∠ AFE 는 평각 180° 에 살짝 못 미치는 값이어야 하고 170° 가 잘 맞습니다. 다음으로 좌표 확인입니다. D 를 원점에 두고 DA를 x 축 음의 방향, DC를 y 축 음의 방향에 놓고 DE = DF = 1로 잡으면 F = (-1, 0)입니다. DC (방향각 -90°)를 반시계로 110° 돌리면 DE의 방향각은 20° 가 되고, 이는 요구대로 직선 CD 기준 A 의 반대쪽이며 E = (cos 20°, sin 20°) ≈ (0.940, 0.342)입니다. 그러면 FE ≈ (1.940, 0.342)이고 FA는 (-1, 0) 방향이므로 둘 사이의 각은 180° - arctan (0.342/1.940) ≈ 180° - 10° = 170° 입니다. 선택지 확인도 해 봅니다. 다섯 값이 모두 160과 174 사이이므로 답은 평각에 가까운 둔각이어야 하고, 밑각이 겨우 10° 라는 결론과 일치합니다. 마지막으로 구조 확인입니다. 풀이 어디에서도 정사각형의 한 변 길이를 쓰지 않았는데, 정사각형을 확대하거나 축소해도 각은 변하지 않으므로 이는 당연합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 각 지식만으로 충분합니다 — D 둘레의 세 각이 360° 이므로 ∠ ADE = 360° - 90° - 110° = 160° 이고, DE = DF 라서 그 160° 는 이등변삼각형의 꼭지각이 되어 밑각은 (180° - 160°)/2 = 10° 이며, ∠ AFE 는 F 에서 평각의 나머지이므로 180° - 10° = 170° 입니다.

D 에서 세 반직선이 한 바퀴를 채운다
빼서 각 ADE 구하기
그 각을 삼각형 DEF 로 옮기기
두 밑각은 서로 같다
밑각 값 구하기
F 에서의 평각으로 마무리