AMC 10 · 2021 · #9

학년 11 geometry-3dalgebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

logarithm-propertiessurface-areavolume-rectangular-prismexponents convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesvolume-rectangular-prism

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

직육면체의 세 모서리 길이가 같은 수의 로그이고 밑이 각각 2, 3, 4입니다. 겉넓이를 나타내는 수와 부피를 나타내는 수가 같습니다. 그 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{6}$

(B)

$6\sqrt{6}$

(C)

(D)

(E)

576

풀이 과정

전략 변수 도입하기

로그 때문에 상자가 낯설어 보이지만, 상자는 자기 모서리를 뭐라고 부르든 신경 쓰지 않는다. 모서리를 a, b, c라고 부르면 겉넓이는 2(ab+bc+ca), 부피는 abc인 평범한 도형 문제가 된다. 둘을 같다고 놓으면 지저분한 식 하나가 나오는데, 양변을 abc로 나누는 정리 한 번이면 역수의 합으로 바뀐다. 역수는 로그가 가장 잘 다루는 꼴이다. log₂x의 역수가 곧 log_x2이기 때문이다. 로그를 풀어 x 자체로 돌아가는 것은 맨 마지막에 거꾸로 한 번만 하면 된다.

1STEP 1

세 모서리에 이름 붙이기

세 모서리에 이름을 붙입니다.

a=log₂x, b=log₃x, c=log₄x, a,b,c ＞ 0

2STEP 2

겉넓이와 부피 쓰기

겉넓이와 부피를 식으로 씁니다.

S=2(ab+bc+ca), V=abc

3STEP 3

식을 부피로 나누기

부피로 나누면 역수의 합이 됩니다.

2(ab+bc+ca)=abc ⟹ (2(ab+bc+ca))/abc=1 ⟹ 1/a+1/b+1/c=1/2

4STEP 4

로그를 뒤집기

로그를 뒤집으면 밑이 바뀝니다.

1/a=1/log₂x=log_x2, 1/b=log_x3, 1/c=log_x4

5STEP 5

세 로그를 하나로 합치기

세 로그가 하나로 합쳐집니다.

log_x2+log_x3+log_x4=log_x(2 · 3 · 4)=log_x24=1/2

6STEP 6

로그를 풀어 x 구하기

로그를 풀면 576입니다.

log_x24=1/2 ⟹ x¹/2=24 ⟹ x=24²=576

정답

576

x=576을 계산기 없이 정확하게 확인해 보자. 576=24²이므로 log₅₇₆₂₄=1/2이 오차 없이 성립하고, 따라서 1/a+1/b+1/c=1/2이며 여기에 다시 abc를 곱하면 2(ab+bc+ca)=abc가 그대로 복원된다. 모서리도 조건을 만족한다. 576 ＞ 1이므로 log₂₅₇₆≈ 9.17, log₃₅₇₆≈ 5.79, log₄₅₇₆≈ 4.58이 모두 양수이다. 수치로도 부피는 약 9.17 × 5.79 × 4.58≈ 243, 겉넓이는 약 2(53.1+26.5+42.0)≈ 243으로 정말 같은 수에 도달한다. x가 큰 수여야 한다는 것도 납득이 간다. 모서리는 로그만큼만 자라므로, 부피가 겉넓이를 따라잡을 만큼 상자가 커지려면 x를 아주 멀리까지 밀어야 하기 때문이다.

💡핵심 정리

상자의 겉넓이와 부피가 같을 때는 식을 부피로 나눠 보자. 1/a+1/b+1/c=1/2로 무너지고, 로그의 역수는 밑과 진수를 맞바꾼 같은 로그일 뿐이다.

세 모서리에 이름 붙이기
겉넓이와 부피 쓰기
식을 부피로 나누기
로그를 뒤집기
세 로그를 하나로 합치기
로그를 풀어 x 구하기