AMC 10 · 2021 · #1
학년 4 arithmetic place-valuedigit-decompositionmulti-digit-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: place-value
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
네 자리 수 네 개를 더하고 그 합을 다섯 보기 중에서 고르세요. 네 수는 같은 네 숫자를 순서만 바꿔 쓴 것입니다.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$10{,}000$
(B)
$10{,}010$
(C)
$10{,}110$
(D)
$11{,}000$
(E)
$11{,}110$
풀이 과정
전략 패턴 찾기
그냥 세로셈으로 더해도 되지만, 네 수는 같은 네 숫자를 순환 이동시킨 것이고 도구 #5(패턴 찾기)로 그 사실을 알아채면 그것만으로 풀이가 끝난다. 그 패턴을 눈에 보이게 만드는 것이 도구 #15(다르게 정리하기)다. 각 수를 가로로 읽는 대신, 수들을 세로로 쌓아 자릿값 열을 아래로 읽는 것이다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 합을 네 개의 독립적인 열의 합으로 나눌 수 있고, 각 열의 합은 모두 똑같이 쉬운 1 + 2 + 3 + 4가 된다.
1STEP 1
수를 쌓아 놓고 아래로 읽기
수를 쌓아 놓고 세로로 읽습니다.
1 2 3 4 ; 2 3 4 1 ; 3 4 1 2 ; 4 1 2 3
쌓아 놓은 수의 한 열을 읽으면 어떤 숫자들이 같은 자릿값을 놓고 모여 있는지가 보인다.
4.NBT.A.2Organize Information In More Ways2STEP 2
모든 열에 1, 2, 3, 4가 한 번씩
모든 열에 네 숫자가 한 번씩 들어 있습니다.
네 열 모두에서 1 + 2 + 3 + 4 = 10
순환 이동은 모든 숫자를 모든 자리로 한 번씩 보내므로, 어느 자리도 특별대우를 받지 않는다.
돌려 쓰기는 모든 자릿수를 모든 자리로 지나가게 하므로, 어느 자리도 특별히 우대받지 않는다.
▸ 왜?
한 바퀴를 다 밀면 각 자릿수가 처음 자리로 돌아오므로, 저마다 모든 자리를 한 번씩 지난 셈이다.
주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 방문이 같으면 보태는 몫도 같다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
3STEP 3
열의 합에서 전체 합 되살리기
열의 합에서 되살리면 11110입니다.
10 × 1000 + 10 × 100 + 10 × 10 + 10 × 1 = 10 × 1111 = 11,110
모든 자리에 똑같은 개수가 들어 있다면, 네 번 더하는 대신 그 개수를 묶어 한 번만 곱하면 된다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems정답
11,110
직접 더해서 확인해 보자. 1234 + 2341 = 3575이고 3412 + 4123 = 7535이며, 3575 + 7535 = 11110이다. 11,110이 맞다. 크기를 어림해 봐도 들어맞는다. 각 수는 평균적으로 2500에 조금 못 미치고 그런 수 네 개면 10,000 근처이므로, 11,000을 갓 넘는 합은 알맞은 크기다. 나머지 선택지들은 평균 약 2778인 네 수의 합을 담기에는 모두 너무 작다.
💡핵심 정리
같은 숫자들을 섞어 만든 수들을 더할 때는 가로가 아니라 세로 열로 더해 보라. 모든 열의 숫자 합이 같아서 전체 합이 한 번에 나온다.
- 수를 쌓아 놓고 아래로 읽기
- 모든 열에 1, 2, 3, 4가 한 번씩
- 열의 합에서 전체 합 되살리기