AMC 10 · 2021 · #10
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
"이등변삼각형이다"라는 한 문장은 사실 세 갈래 조건이고, 선택지는 그중 일부만 찾은 사람을 정확히 걸러내도록 만들어져 있습니다. 그래서 전체를 이끄는 것은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)입니다. 같은 두 변이 만나는 꼭짓점, 즉 꼭지점을 이름 붙이고 꼭지점이 A 인 경우, B 인 경우, C 인 경우를 각각 따로 떼어 작은 문제로 다룹니다(도구 #7). 다만 그 경우 나누기가 값싸지려면 먼저 그림이 보여야 합니다. 도구 #1(그림 그리기)로 보면 (cosθ°, sinθ°)는 세 꼭짓점을 모두 반지름 1 인 하나의 원 위에 올려놓습니다. 그러면 도구 #15(다르게 정리하기)의 문이 열립니다. 같은 원 위에서는 변의 길이와 호의 크기가 완전히 같은 정보를 담으므로, "두 변이 같다"를 "두 호가 같다"로 바꿔 쓸 수 있고 문제 전체가 거리 계산 대신 각 계산이 됩니다. 마지막 정리는 도구 #3(가능성 지우기)이 맡아, C 가 이미 있는 꼭짓점 위로 무너지는 t 값들을 걸러 냅니다.
좌표 속에 숨은 원 찾기
세 점이 모두 한 원 위에 있습니다.
코사인과 사인으로 쓰인 좌표는 원이 변장한 것이므로, 소수 두 개의 쌍이 아니라 눈금판 위의 위치로 읽는다.
11.F-TF.A.2Draw A Diagram변의 길이를 호의 크기로 바꾸기
변의 길이를 호의 크기로 바꿉니다.
같은 원에서 현이 같다는 것은 호가 같다는 뜻이므로, 길이 비교가 각 비교로 바뀌고 각은 풀기가 훨씬 쉽다.
한 원에서 길이가 같은 현은 같은 호를 자르므로, 길이를 견주는 일이 각을 견주는 일이 된다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 같은 현은 합동인 중심 삼각형을 만든다.
▸ 왜?
호는 그 중심각이 원에서 차지하는 몫이므로, 각이 같으면 호도 같다.
꼭지점을 정해 세 경우로 나누기
꼭지점을 정해 세 경우로 나눕니다.
"이등변"은 특정한 두 변이 아니라 성질의 이름이므로, 하나를 넘겨짚지 말고 꼭지점이 될 수 있는 꼭짓점을 모두 적는다.
10.G-CO.C.10Make A Systematic List경우 1: 꼭지점이 A
첫 경우가 두 값을 줍니다.
원 위의 한 점으로부터 거리를 하나로 못 박으면 상대 점은 양쪽으로 딱 두 자리에만 있을 수 있다.
9.A-REI.B.3Make A Systematic List경우 2: 꼭지점이 B
둘째 경우도 두 값을 줍니다.
AB 를 규정하는 그 20° 간격은 어느 끝점에서든 재어 나갈 수 있으므로, 두 번째 경우는 첫 번째 경우를 거울에 비춘 것이다.
9.A-REI.B.3Make A Systematic List경우 3: 꼭지점이 C
셋째 경우는 수직이등분선 위입니다.
두 점에서 같은 거리라는 말은 그 둘의 수직이등분선 위에 서 있다는 뜻이고, 원에서는 그 선이 중심을 지나므로 테두리에 표시되는 자리는 정확히 두 곳이다.
10.G-CO.C.9Draw A Diagram삼각형이 안 되는 값 지우기
겹친 값을 버립니다.
두 꼭짓점을 겹치게 만드는 해는 식은 만족시키지만 삼각형을 무너뜨리므로, 식의 답은 도형 조건으로 한 번 더 걸러야 한다.
10.G-CO.A.1Eliminate Possibilities살아남은 값 더하기
남은 값을 더하면 380입니다.
마지막 단계는 방금 푼 것과 다른 질문에 답한다. 상품은 목록이 아니라 합계다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems점이 (cosθ, sinθ)로 주어지면 모두 하나의 원 위에 있으므로 변이 같다는 것은 호가 같다는 뜻이 된다. 그다음에는 꼭짓점을 하나씩 꼭지점으로 놓고 모두 확인해야 한다. "이등변"은 어느 두 변이 같은지 절대 알려 주지 않기 때문이다.
- 좌표 속에 숨은 원 찾기
- 변의 길이를 호의 크기로 바꾸기
- 꼭지점을 정해 세 경우로 나누기
- 경우 1: 꼭지점이 A
- 경우 2: 꼭지점이 B
- 경우 3: 꼭지점이 C
- 삼각형이 안 되는 값 지우기
- 살아남은 값 더하기
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